Ensembles finis Exemples

$23$ , $28$ , $45$ , $56$ , $78$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{23 + 28 + 45 + 56 + 78}{5}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $23$ et $28$ .

$\overline{x} = \frac{51 + 45 + 56 + 78}{5}$

Étape 1.2.2

Additionnez $51$ et $45$ .

$\overline{x} = \frac{96 + 56 + 78}{5}$

Étape 1.2.3

Additionnez $96$ et $56$ .

$\overline{x} = \frac{152 + 78}{5}$

Étape 1.2.4

Additionnez $152$ et $78$ .

$\overline{x} = \frac{230}{5}$

Étape 1.3

Divisez $230$ par $5$ .

$\overline{x} = 46$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $23$ en une valeur décimale.

$23$

Étape 2.2

Convertissez $28$ en une valeur décimale.

$28$

Étape 2.3

Convertissez $45$ en une valeur décimale.

$45$

Étape 2.4

Convertissez $56$ en une valeur décimale.

$56$

Étape 2.5

Convertissez $78$ en une valeur décimale.

$78$

Étape 2.6

Les valeurs simplifiées sont $23, 28, 45, 56, 78$ .

$23, 28, 45, 56, 78$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(23 - 46)}^{2} + {(28 - 46)}^{2} + {(45 - 46)}^{2} + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $46$ de $23$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 23)}^{2} + {(28 - 46)}^{2} + {(45 - 46)}^{2} + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 23$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + {(28 - 46)}^{2} + {(45 - 46)}^{2} + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $46$ de $28$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + {(- 18)}^{2} + {(45 - 46)}^{2} + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.4

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + {(45 - 46)}^{2} + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $46$ de $45$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + {(- 1)}^{2} + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + 1 + {(56 - 46)}^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $46$ de $56$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + 1 + 10^{2} + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.8

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + 1 + 100 + {(78 - 46)}^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.9

Soustrayez $46$ de $78$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + 1 + 100 + 32^{2}}{5 - 1}}$

Étape 5.1.10

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{529 + 324 + 1 + 100 + 1024}{5 - 1}}$

Étape 5.1.11

Additionnez $529$ et $324$ .

$s = \sqrt{\frac{853 + 1 + 100 + 1024}{5 - 1}}$

Étape 5.1.12

Additionnez $853$ et $1$ .

$s = \sqrt{\frac{854 + 100 + 1024}{5 - 1}}$

Étape 5.1.13

Additionnez $854$ et $100$ .

$s = \sqrt{\frac{954 + 1024}{5 - 1}}$

Étape 5.1.14

Additionnez $954$ et $1024$ .

$s = \sqrt{\frac{1978}{5 - 1}}$

Étape 5.1.15

Soustrayez $1$ de $5$ .

$s = \sqrt{\frac{1978}{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $1978$ et $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $1978$ .

$s = \sqrt{\frac{2 (989)}{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 989}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s = \sqrt{\frac{2 \cdot 989}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s = \sqrt{\frac{989}{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{989}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{989}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{989}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{\sqrt{989}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{989}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{989}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{\sqrt{989} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{\sqrt{989 \cdot 2}}{2}$

Étape 5.6.2

Multipliez $989$ par $2$ .

$s = \frac{\sqrt{1978}}{2}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$22.2$

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