Calcul infinitésimal Exemples

\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez

x = \frac{1}{2} sin (t)

$x = \frac{1}{2} \sin (t)$ , où

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis

d x = \frac{cos (t)}{2} d t

$d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Depuis

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

\frac{cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ est positif.

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} sin (t))}^{2}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez

\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} sin (t))}^{2}}

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

sin (t)

$\sin (t)$ .

\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{sin (t)}{2})}^{2}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à

\frac{sin (t)}{2}

$\frac{\sin (t)}{2}$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{{sin}^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.3

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\int \sqrt{1 - 4 \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

- 4

$- 4$ .

\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{{sin}^{2} (t)}{4}} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

\int \sqrt{1 - 1 {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - 1 {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.1.5

Réécrivez

- 1 {sin}^{2} (t)

$- 1 \sin^{2} (t)$ comme

- {sin}^{2} (t)

$- \sin^{2} (t)$ .

\int \sqrt{1 - {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int \sqrt{1 - {sin}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

\int \sqrt{{cos}^{2} (t)} \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

\int cos (t) \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

\int cos (t) \frac{cos (t)}{2} d t

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Associez

cos (t)

$\cos (t)$ et

\frac{cos (t)}{2}

$\frac{\cos (t)}{2}$ .

\int \frac{cos (t) cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.2.2

Élevez

cos (t)

$\cos (t)$ à la puissance

1

$1$ .

\int \frac{{cos}^{1} (t) cos (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Étape 2.2.3

Élevez

cos (t)

$\cos (t)$ à la puissance

1

$1$ .

\int \frac{{cos}^{1} (t) {cos}^{1} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\int \frac{{cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Étape 2.2.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\int \frac{{cos}^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{{cos}^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

\int \frac{{cos}^{2} (t)}{2} d t

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Étape 3

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

t

$t$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} \int {cos}^{2} (t) d t

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire

{cos}^{2} (t)

$\cos^{2} (t)$ en

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

\frac{1}{2} \int \frac{1 + cos (2 t)}{2} d t

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

t

$t$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + cos (2 t) d t)

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 6.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{1}{4} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

\frac{1}{4} \int 1 + cos (2 t) d t

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

\frac{1}{4} (\int d t + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

\frac{1}{4} (t + C + \int cos (2 t) d t)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Laissez

u = 2 t

$u = 2 t$ . Alors

d u = 2 d t

$d u = 2 d t$ , donc

\frac{1}{2} d u = d t

$\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 9.1

Laissez

u = 2 t

$u = 2 t$ . Déterminez

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez

2 t

$2 t$ .

\frac{d}{d t} [2 t]

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

t

$t$ , la dérivée de

2 t

$2 t$ par rapport à

t

$t$ est

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$ .

2 \frac{d}{d t} [t]

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ et

d u

$d u$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{4} (t + C + \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez

cos (u)

$\cos (u)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int cos (u) d u)

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de

cos (u)

$\cos (u)$ par rapport à

u

$u$ est

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 13

Simplifiez

\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de

t

$t$ par

arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 t

$2 t$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 t)) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de

t

$t$ par

arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (2 x))) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

sin (2 arcsin (2 x))

$\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

\frac{1}{4} (arcsin (2 x) + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2}) + C

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{1}{4} arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Étape 15.3

Associez

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ et

arcsin (2 x)

$\arcsin (2 x)$ .

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

Étape 15.4

Multipliez

\frac{1}{4} \cdot \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2}

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

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Étape 15.4.1

Multipliez

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ par

\frac{sin (2 arcsin (2 x))}{2}

$\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

Étape 15.4.2

Multipliez

4

$4$ par

2

$2$ .

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

\frac{arcsin (2 x)}{4} + \frac{sin (2 arcsin (2 x))}{8} + C

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

\frac{1}{4} arcsin (2 x) + \frac{1}{8} sin (2 arcsin (2 x)) + C

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

Saisissez VOTRE problème