Calcul infinitésimal Exemples

\int x e^{2 x} d x

$\int x e^{2 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , où

u = x

$u = x$ et

d v = e^{2 x}

$d v = e^{2 x}$ .

x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

e^{2 x}

$e^{2 x}$ .

x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 2.2

Associez

x

$x$ et

\frac{e^{2 x}}{2}

$\frac{e^{2 x}}{2}$ .

\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 3

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Étape 4

Laissez

u = 2 x

$u = 2 x$ . Alors

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , donc

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

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Étape 4.1

Laissez

u = 2 x

$u = 2 x$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ et

d u

$d u$ .

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez

e^{u}

$e^{u}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 7.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de

e^{u}

$e^{u}$ par rapport à

u

$u$ est

e^{u}

$e^{u}$ .

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 9

Réécrivez

\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ comme

\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Saisissez VOTRE problème