Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \cos (3 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule

$\int u d v = u v - \int v d u$ , où

$u = x$ et

$d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 2.2

Associez

$x$ et

$\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 3

Comme

$\frac{1}{3}$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Étape 4

Laissez

$u = 3 x$ . Alors

$d u = 3 d x$ , donc

$\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec

$u$ et

$d$

$u$ .

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Étape 4.1

Laissez

$u = 3 x$ . Déterminez

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez

$3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$3 x$ par rapport à

$x$ est

$3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez

$3$ par

$1$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u$ et

$d u$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez

$\sin (u)$ et

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 6

Comme

$\frac{1}{3}$ est constant par rapport à

$u$ , placez

$\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez

$\frac{1}{3}$ par

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Étape 7.2

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de

$\sin (u)$ par rapport à

$u$ est

$- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Étape 9

Réécrivez

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ comme

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

Saisissez VOTRE problème