Calcul infinitésimal Exemples

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Étape 1

Pour déterminer si la série est convergente, déterminez si l’intégrale de la séquence est convergente.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque

t

$t$ approche de

\infty

$\infty$ .

lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

L’intégrale de

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ par rapport à

x

$x$ est

\ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez

\ln (| x |)

$\ln (| x |)$ sur

t

$t$ et sur

1

$1$ .

lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Étape 4.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Étape 5

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à

\infty

$\infty$ .

\infty

$\infty$

Étape 6

Comme l’intégrale est divergente, la série est divergente.

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