Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Étape 1

Pour déterminer si la série est convergente, déterminez si l’intégrale de la séquence est convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque

$t$ approche de

$\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

L’intégrale de

$\frac{1}{x}$ par rapport à

$x$ est

$\ln (| x |)$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Évaluez

$\ln (| x |)$ sur

$t$ et sur

$1$ .

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Étape 4.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Étape 5

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à

$\infty$ .

$\infty$

Étape 6

Comme l’intégrale est divergente, la série est divergente.

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