Calcul infinitésimal Exemples

$2$ , $1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{2}$

Étape 2

La somme d’une série $S_{n}$ est calculée avec la formule $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Pour la somme d’une série géométrique infinie $S_{\infty}$ , lorsque $n$ approche de $\infty$ , $1 - r^{n}$ approche de $1$ . Ainsi, $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ approche de $\frac{a}{1 - r}$ .

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Étape 3

Les valeurs $a = 2$ et $r = \frac{1}{2}$ peuvent être placées dans l’équation $S_{\infty}$ .

$S_{\infty} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez l’équation pour déterminer $S_{\infty}$ .

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{\infty} = 2 \cdot 2$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$S_{\infty} = 4$

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