Calcul infinitésimal Exemples

2

$2$ ,

1

$1$ ,

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ ,

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ produit le terme suivant. En d’autres termes,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique :

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Étape 2

La somme d’une série

S_{n}

$S_{n}$ est calculée avec la formule

S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ . Pour la somme d’une série géométrique infinie

S_{\infty}

$S_{\infty}$ , lorsque

n

$n$ approche de

\infty

$\infty$ ,

1 - r^{n}

$1 - r^{n}$ approche de

1

$1$ . Ainsi,

\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}

$\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ approche de

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ .

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

Étape 3

Les valeurs

a = 2

$a = 2$ et

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$ peuvent être placées dans l’équation

S_{\infty}

$S_{\infty}$ .

S_{\infty} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez l’équation pour déterminer

S_{\infty}

$S_{\infty}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2 - 1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 4.1.3

Soustrayez

1

$1$ de

2

$2$ .

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}

$S_{\infty} = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

S_{\infty} = 2 \cdot 2

$S_{\infty} = 2 \cdot 2$

Étape 4.3

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

S_{\infty} = 4

$S_{\infty} = 4$

S_{\infty} = 4

$S_{\infty} = 4$

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