Calcul infinitésimal Exemples

$135$ , $45$ , $15$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 135$ et $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

Étape 6

Associez $135$ et $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{5}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.5

Associez $- 1$ et $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.7.1

Multipliez $- 1$ par $243$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.7.2

Soustrayez $243$ de $1$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 10.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Étape 11

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Étape 12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $242$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.1

Factorisez $3$ à partir de $243$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 15.1

Factorisez $27$ à partir de $135$ .

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

Étape 15.2

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Étape 15.4

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

Étape 16

Associez $5$ et $\frac{121}{3}$ .

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

Étape 17

Multipliez $5$ par $121$ .

$S_{5} = \frac{605}{3}$

Étape 18

Convertissez la fraction en une décimale.

$S_{5} = 201.\overline{6}$

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