Calcul infinitésimal Exemples

\infty \sum n = 0 \frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

Étape 1

Pour une série infinie

\sum a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ , déterminez la limite

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ pour déterminer la convergence à l’aide du test de racine de Cauchy.

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Étape 2

Remplacez par

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim n \to \infty {∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n}}{n} ∣ ∣ ∣}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Déplacez l’exposant dans la valeur absolue.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à

\frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans

{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de

n

$n$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 3.4

Évaluez l’exposant.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.1

Placez la limite à l’intérieur des signes de valeur absolue.

L = ∣ ∣ ∣ lim n \to \infty \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 4.1.2

Placez le terme

- 2

$- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à

n

$n$ .

L = ∣ ∣ ∣ - 2 lim n \to \infty \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 4.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque

n

$n$ approche de

\infty

$\infty$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{lim n \to \infty 1}{lim n \to \infty n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 4.1.4

Évaluez la limite de

1

$1$ qui est constante lorsque

n

$n$ approche de

\infty

$\infty$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

Étape 4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.2.1

Réécrivez

n^{\frac{1}{n}}

$n^{\frac{1}{n}}$ comme

e^{ln (n^{\frac{1}{n}})}

$e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty e^{ln (n^{\frac{1}{n}})}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

Étape 4.2.2

Développez

ln (n^{\frac{1}{n}})

$\ln (n^{\frac{1}{n}})$ en déplaçant

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ hors du logarithme.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty e^{\frac{1}{n} ln (n)}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty e^{\frac{1}{n} ln (n)}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1

Placez la limite dans l’exposant.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n} ln (n)}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

Étape 4.3.2

Associez

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ et

ln (n)

$\ln (n)$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{ln (n)}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{ln (n)}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

Étape 4.4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim n \to \infty ln (n)}{lim n \to \infty n}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Étape 4.4.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à

\infty

$\infty$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim n \to \infty n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

Étape 4.4.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

L = ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

Étape 4.4.2

Comme

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

lim n \to \infty \frac{ln (n)}{n} = lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

Étape 4.4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Étape 4.4.3.2

La dérivée de

ln (n)

$\ln (n)$ par rapport à

n

$n$ est

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

Étape 4.4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{1}{n}}{1}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{1}{n}}{1}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

Étape 4.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n} \cdot 1}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

Étape 4.4.5

Multipliez

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ par

1

$1$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

Étape 4.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction

$\frac{1}{n}$ approche de

$0$ .

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

Étape 4.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.6.1

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun de

$1$ .

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

Étape 4.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$L = | - 2 \cdot 1 |$

Étape 4.6.3

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$L = | - 2 |$

Étape 4.6.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$- 2$ et

$0$ est

$2$ .

$L = 2$

Étape 5

$L < 1$ , la série est absolument convergente. Si

$L > 1$ , la série est divergente. Si

$L = 1$ , le test est peu concluant. Dans ce cas,

$L > 1$ .

La série est divergente sur

$[0, \infty)$

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