Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Étape 1

Pour une série infinie $\sum_{}^{} a_{n}$ , déterminez la limite $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ pour déterminer la convergence à l’aide du test de racine de Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Étape 2

Remplacez par $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Déplacez l’exposant dans la valeur absolue.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $n$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Étape 3.3

Simplifiez

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez la limite à l’intérieur des signes de valeur absolue.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Étape 4.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $n$ dans le dénominateur, qui est $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $n$ et $n^{3}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Factorisez $n$ à partir de $2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $n$ à partir de $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $n^{3}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $n^{3}$ .

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n^{2}}$ approche de $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.5

Évaluez la limite.

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Étape 4.5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.5.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Étape 4.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n^{3}}$ approche de $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Étape 4.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Étape 4.7.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Étape 4.7.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Étape 4.7.3

$\frac{1}{5}$ est d’environ $0.2$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$L = \frac{1}{5}$

Étape 4.8

Divisez $1$ par $5$ .

$L = 0.2$

Étape 5

Si $L < 1$ , la série est absolument convergente. Si $L > 1$ , la série est divergente. Si $L = 1$ , le test est peu concluant. Dans ce cas, $L < 1$ .

La série est convergente sur $[1, \infty)$

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