Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Étape 1

La série est divergente si la limite de la séquence lorsque $n$ approche de $\infty$ n’existe pas ou n’est pas égale à $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $n$ dans le dénominateur, qui est $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun à $n^{2}$ et $n^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $n^{2}$ à partir de $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Factorisez $n^{2}$ à partir de $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $n^{3}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $n^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite.

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Étape 2.4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.4.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Étape 2.4.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Étape 2.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{n^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 2.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 3

La limite existe et n’est pas égale à $0$ , donc la série est divergente.

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