Calcul infinitésimal Exemples

x = 4 t + 2

$x = 4 t + 2$ ,

y = t^{2}

$y = t^{2}$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour

x (t)

$x (t)$ afin de résoudre l’équation pour

t

$t$ .

x = 4 t + 2

$x = 4 t + 2$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme

4 t + 2 = x

$4 t + 2 = x$ .

4 t + 2 = x

$4 t + 2 = x$

Étape 3

Soustrayez

2

$2$ des deux côtés de l’équation.

4 t = x - 2

$4 t = x - 2$

Étape 4

Divisez chaque terme dans

4 t = x - 2

$4 t = x - 2$ par

4

$4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans

4 t = x - 2

$4 t = x - 2$ par

4

$4$ .

\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez

t

$t$ par

1

$1$ .

t = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}

$t = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}$

t = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}

$t = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}$

t = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}

$t = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun à

- 2

$- 2$ et

4

$4$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 2

$- 2$ .

t = \frac{x}{4} + \frac{2 (- 1)}{4}

$t = \frac{x}{4} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

t = \frac{x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}

$t = \frac{x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

t = \frac{x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}

$t = \frac{x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

t = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}

$t = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

t = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}

$t = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

t = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}

$t = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Étape 4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}

$t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}

$t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}

$t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}

$t = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez

t

$t$ dans l’équation par

y

$y$ pour obtenir l’équation en termes de

x

$x$ .

y = {(\frac{x}{4} - \frac{1}{2})}^{2}

$y = {(\frac{x}{4} - \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 6

Simplifiez

{(\frac{x}{4} - \frac{1}{2})}^{2}

${(\frac{x}{4} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez

{(\frac{x}{4} - \frac{1}{2})}^{2}

${(\frac{x}{4} - \frac{1}{2})}^{2}$ comme

(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})

$(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})$ .

y = (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})

$y = (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})$

Étape 6.2

Développez

(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})

$(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

y = \frac{x}{4} (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})

$y = \frac{x}{4} (\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

y = \frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})

$y = \frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} - \frac{1}{2})$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

y = \frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

y = \frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez

\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}

$\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Multipliez

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ par

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ .

y = \frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.1.2

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

y = \frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.1.3

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

y = \frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

y = \frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.1.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

y = \frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.1.6

Multipliez

4

$4$ par

4

$4$ .

y = \frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

y = \frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.2

Multipliez

\frac{x}{4} (- \frac{1}{2})

$\frac{x}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{4 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{4 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez

4

$4$ par

2

$2$ .

y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.3

Multipliez

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4}

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{4}$ .

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Étape 6.3.1.3.1

Multipliez

\frac{x}{4}

$\frac{x}{4}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{4 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{4 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.3.2

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{8} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 6.3.1.4

Multipliez

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.3.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{8} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}$

Étape 6.3.1.4.2

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$1$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.1.4.3

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.4.4

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{8} - \frac{x}{8} + \frac{1}{4}$

Étape 6.3.2

Soustrayez

$\frac{x}{8}$ de

$- \frac{x}{8}$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - 2 \frac{x}{8} + \frac{1}{4}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.4.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} + 2 (- 1) \frac{x}{8} + \frac{1}{4}$

Étape 6.4.1.2

Factorisez

$2$ à partir de

$8$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Étape 6.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Étape 6.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{16} - 1 \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 6.4.2

Réécrivez

$- 1 \frac{x}{4}$ comme

$- \frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

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