Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(x^{2} - 1)}^{8} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{8} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $u^{8}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{8}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u^{8} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{8}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$

Étape 5

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (\frac{1}{9} u^{9} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9} u^{9} + C$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{1}{18} u^{9} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{18} {(x^{2} - 1)}^{9} + C$

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