Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{3}^{5} 3 x^{2} + 2 x - 1 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{3}^{5} 3 x^{2} d x + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{3}^{5} x^{2} d x + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} 2 x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 \int_{3}^{5} x d x + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + \int_{3}^{5} - 1 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{3}^{5}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + - x]_{3}^{5}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $3$ .

$3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{5}) + - x]_{3}^{5}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $3$ .

$3 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + - x]_{3}^{5}$

Étape 9.3

Évaluez $- x$ sur $5$ et sur $3$ .

$3 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3^{3}}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{27}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 9}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 9}{3 (1)}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{125}{3} - \frac{9}{1}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$3 (\frac{125}{3} - 1 \cdot 9) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$3 (\frac{125}{3} - 9) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.5

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{125}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.6

Associez $- 9$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{125}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{125 - 9 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.8.1

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$3 \frac{125 - 27}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.8.2

Soustrayez $27$ de $125$ .

$3 (\frac{98}{3}) + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.9

Associez $3$ et $\frac{98}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 98}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.10

Multipliez $3$ par $98$ .

$\frac{294}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.11

Annulez le facteur commun à $294$ et $3$ .

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Étape 9.4.11.1

Factorisez $3$ à partir de $294$ .

$\frac{3 \cdot 98}{3} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 98}{3 (1)} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 98}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{98}{1} + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.11.2.4

Divisez $98$ par $1$ .

$98 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.12

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$98 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{3^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.13

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$98 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$98 + 2 \frac{25 - 9}{2} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.15

Soustrayez $9$ de $25$ .

$98 + 2 (\frac{16}{2}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.16

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.4.16.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$98 + 2 \frac{2 \cdot 8}{2} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$98 + 2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$98 + 2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$98 + 2 (\frac{8}{1}) + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.16.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$98 + 2 \cdot 8 + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.17

Multipliez $2$ par $8$ .

$98 + 16 + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.18

Additionnez $98$ et $16$ .

$114 + (- 1 \cdot 5) + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.19

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$114 - 5 + 1 \cdot 3$

Étape 9.4.20

Multipliez $3$ par $1$ .

$114 - 5 + 3$

Étape 9.4.21

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$114 - 2$

Étape 9.4.22

Soustrayez $2$ de $114$ .

$112$

Étape 10

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