Calcul infinitésimal Exemples

x^{2} - 5 x + 3

$x^{2} - 5 x + 3$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Complétez le carré pour

x^{2} - 5 x + 3

$x^{2} - 5 x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = 3

$c = 3$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

d = \frac{- 5}{2}

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez

- 5

$- 5$ à la puissance

2

$2$ .

e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}

$e = 3 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = 3 - \frac{25}{4}

$e = 3 - \frac{25}{4}$

e = 3 - \frac{25}{4}

$e = 3 - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Pour écrire

3

$3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}

$e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.3

Associez

3

$3$ et

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}

$e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}

$e = \frac{3 \cdot 4 - 25}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.2.5.1

Multipliez

3

$3$ par

4

$4$ .

e = \frac{12 - 25}{4}

$e = \frac{12 - 25}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.5.2

Soustrayez

25

$25$ de

12

$12$ .

e = \frac{- 13}{4}

$e = \frac{- 13}{4}$

e = \frac{- 13}{4}

$e = \frac{- 13}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

e = - \frac{13}{4}

$e = - \frac{13}{4}$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$ .

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

Étape 1.1.2

Définissez

y

$y$ égal au nouveau côté droit.

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{13}{4}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

h

$h$ et

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = \frac{5}{2}

$h = \frac{5}{2}$

k = - \frac{13}{4}

$k = - \frac{13}{4}$

Étape 1.3

Comme la valeur de

a

$a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet

(h, k)

$(h, k)$ .

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Étape 1.5

Déterminez

p

$p$ , la distance du sommet au foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de

a

$a$ dans la fonction.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

p

$p$ à la coordonnée y

k

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

p

$p$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

p

$p$ de la coordonnée y

k

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

y = k - p

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de

p

$p$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Foyer :

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Axe de symétrie :

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Directrice :

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Foyer :

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Axe de symétrie :

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Directrice :

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs

x

$x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs

y

$y$ correspondantes. Les valeurs

x

$x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 3$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

1

$1$ .

f (1) = 1 - 5 + 3

$f (1) = 1 - 5 + 3$

f (1) = 1 - 5 + 3

$f (1) = 1 - 5 + 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Soustrayez

5

$5$ de

1

$1$ .

f (1) = - 4 + 3

$f (1) = - 4 + 3$

Étape 2.2.2.2

Additionnez

- 4

$- 4$ et

3

$3$ .

f (1) = - 1

$f (1) = - 1$

f (1) = - 1

$f (1) = - 1$

Étape 2.2.3

La réponse finale est

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Étape 2.3

La valeur

y

$y$ sur

x = 1

$x = 1$ est

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la variable

x

$x$ par

0

$0$ dans l’expression.

f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3

$f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 3$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 3$

Étape 2.5.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 3

$f (0) = 0 + 0 + 3$

f (0) = 0 + 0 + 3

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

f (0) = 0 + 3

$f (0) = 0 + 3$

Étape 2.5.2.2

Additionnez

0

$0$ et

3

$3$ .

f (0) = 3

$f (0) = 3$

f (0) = 3

$f (0) = 3$

Étape 2.5.3

La réponse finale est

3

$3$ .

3

$3$

3

$3$

Étape 2.6

La valeur

y

$y$ sur

x = 0

$x = 0$ est

3

$3$ .

y = 3

$y = 3$

Étape 2.7

Remplacez la variable

x

$x$ par

3

$3$ dans l’expression.

f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3

$f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 3$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 3$

Étape 2.8.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

3

$3$ .

f (3) = 9 - 15 + 3

$f (3) = 9 - 15 + 3$

f (3) = 9 - 15 + 3

$f (3) = 9 - 15 + 3$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Soustrayez

15

$15$ de

9

$9$ .

f (3) = - 6 + 3

$f (3) = - 6 + 3$

Étape 2.8.2.2

Additionnez

- 6

$- 6$ et

3

$3$ .

f (3) = - 3

$f (3) = - 3$

f (3) = - 3

$f (3) = - 3$

Étape 2.8.3

La réponse finale est

- 3

$- 3$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Étape 2.9

La valeur

y

$y$ sur

x = 3

$x = 3$ est

- 3

$- 3$ .

y = - 3

$y = - 3$

Étape 2.10

Remplacez la variable

x

$x$ par

4

$4$ dans l’expression.

f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3

$f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 3$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1.1

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3

$f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 3$

Étape 2.11.1.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

4

$4$ .

f (4) = 16 - 20 + 3

$f (4) = 16 - 20 + 3$

f (4) = 16 - 20 + 3

$f (4) = 16 - 20 + 3$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Soustrayez

20

$20$ de

16

$16$ .

f (4) = - 4 + 3

$f (4) = - 4 + 3$

Étape 2.11.2.2

Additionnez

- 4

$- 4$ et

3

$3$ .

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

f (4) = - 1

$f (4) = - 1$

Étape 2.11.3

La réponse finale est

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Étape 2.12

La valeur

y

$y$ sur

x = 4

$x = 4$ est

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{13}{4})$

Foyer :

(\frac{5}{2}, - 3)

$(\frac{5}{2}, - 3)$

Axe de symétrie :

x = \frac{5}{2}

$x = \frac{5}{2}$

Directrice :

y = - \frac{7}{2}

$y = - \frac{7}{2}$

\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{13}{4} \\ 3 & - 3 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Étape 4

Saisissez VOTRE problème