Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{4} + 2 x^{2} - 8 x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x d x$

Étape 7

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 \int x d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 8 x^{2}}{2} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 (- 4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $- 4 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} - 4 x^{2} + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C$

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