Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur

x = x + h

$x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

x + h

$x + h$ dans l’expression.

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez

{(x + h)}^{2}

${(x + h)}^{2}$ comme

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ .

f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2

Développez

(x + h) (x + h)

$(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.1.1

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.1.2

Multipliez

h

$h$ par

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.2

Additionnez

x h

$x h$ et

h x

$h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre

x

$x$ et

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Additionnez

h x

$h x$ et

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h)$

Étape 2.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez

3 x

$3 x$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 2.2.2

Déplacez

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre

2 h x

$2 h x$ et

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x$

f (x) = x^{2} + 3 x

$f (x) = x^{2} + 3 x$

Étape 3

Insérez les composants.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - (x^{2} + 3 x)}{h}

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - (x^{2} + 3 x)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - (3 x)}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - (3 x)}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - 3 x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x - x^{2} - 3 x}{h}$

Étape 4.1.3

Soustrayez

x^{2}

$x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez

h^{2}

$h^{2}$ et

0

$0$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez

3 x

$3 x$ de

3 x

$3 x$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Étape 4.1.6

Additionnez

h^{2} + 2 h x + 3 h

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ et

0

$0$ .

\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}

$\frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Étape 4.1.7

Factorisez

h

$h$ à partir de

h^{2} + 2 h x + 3 h

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez

h

$h$ à partir de

h^{2}

$h^{2}$ .

\frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Étape 4.1.7.2

Factorisez

h

$h$ à partir de

2 h x

$2 h x$ .

\frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Étape 4.1.7.3

Factorisez

h

$h$ à partir de

3 h

$3 h$ .

\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 4.1.7.4

Factorisez

h

$h$ à partir de

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 4.1.7.5

Factorisez

h

$h$ à partir de

h (h + 2 x) + h \cdot 3

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ .

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Étape 4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de

h

$h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}

$\frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez

h + 2 x + 3

$h + 2 x + 3$ par

1

$1$ .

h + 2 x + 3

$h + 2 x + 3$

h + 2 x + 3

$h + 2 x + 3$

Étape 4.2.2

Remettez dans l’ordre

h

$h$ et

2 x

$2 x$ .

2 x + h + 3

$2 x + h + 3$

2 x + h + 3

$2 x + h + 3$

2 x + h + 3

$2 x + h + 3$

Étape 5

Saisissez VOTRE problème