Calcul infinitésimal Exemples

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

Étape 1

Écrivez

y = 3 x^{3} + x + 3

$y = 3 x^{3} + x + 3$ comme une fonction.

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$ sur

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3

$f (1) = 3 {(1)}^{3} + 1 + 3$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3

$f (1) = 3 \cdot 1 + 1 + 3$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

f (1) = 3 + 1 + 3

$f (1) = 3 + 1 + 3$

f (1) = 3 + 1 + 3

$f (1) = 3 + 1 + 3$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.3.1

Additionnez

3

$3$ et

1

$1$ .

f (1) = 4 + 3

$f (1) = 4 + 3$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez

4

$4$ et

3

$3$ .

f (1) = 7

$f (1) = 7$

f (1) = 7

$f (1) = 7$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est

7

$7$ .

7

$7$

7

$7$

7

$7$

Étape 2.2

Comme

7 = 7

$7 = 7$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

m

$m$

=

$=$ La dérivée de

f (x) = 3 x^{3} + x + 3

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur

$x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable

$x$ par

$x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

Étape 5.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

Étape 5.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.1.2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.2.3.1

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.1.2.2.3.2

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.1.2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.1.2.3

La réponse finale est

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ .

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez

$x^{2}$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.2.2

Déplacez

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + x + h + 3$

Étape 5.2.3

Déplacez

$x$ .

$3 x^{3} + 9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + h + x + 3$

Étape 5.2.4

Déplacez

$3 x^{3}$ .

$9 h x^{2} + 9 h^{2} x + 3 h^{3} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Étape 5.2.5

Déplacez

$9 h x^{2}$ .

$9 h^{2} x + 3 h^{3} + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Étape 5.2.6

Remettez dans l’ordre

$9 h^{2} x$ et

$3 h^{3}$ .

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + 3 x^{3} + h + x + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

Étape 7.1.3

Soustrayez

$3 x^{3}$ de

$3 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 + 0 - x - 3}{h}$

Étape 7.1.4

Additionnez

$3 h^{3}$ et

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + x + 3 - x - 3}{h}$

Étape 7.1.5

Soustrayez

$x$ de

$x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0 + 3 - 3}{h}$

Étape 7.1.6

Additionnez

$3 h^{3}$ et

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 3 - 3}{h}$

Étape 7.1.7

Soustrayez

$3$ de

$3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h + 0}{h}$

Étape 7.1.8

Additionnez

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ et

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Étape 7.1.9

Factorisez

$h$ à partir de

$3 h^{3} + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h$ .

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Étape 7.1.9.1

Factorisez

$h$ à partir de

$3 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + 9 h^{2} x + 9 h x^{2} + h}{h}$

Étape 7.1.9.2

Factorisez

$h$ à partir de

$9 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + 9 h x^{2} + h}{h}$

Étape 7.1.9.3

Factorisez

$h$ à partir de

$9 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Étape 7.1.9.4

Élevez

$h$ à la puissance

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h}{h}$

Étape 7.1.9.5

Factorisez

$h$ à partir de

$h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2}) + h (9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 7.1.9.6

Factorisez

$h$ à partir de

$h (3 h^{2}) + h (9 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 7.1.9.7

Factorisez

$h$ à partir de

$h (3 h^{2} + 9 h x) + h (9 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1}{h}$

Étape 7.1.9.8

Factorisez

$h$ à partir de

$h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2}) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de

$h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez

$3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$ par

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 h x + 9 x^{2} + 1$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1

Déplacez

$h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h^{2} + 9 x h + 9 x^{2} + 1$

Étape 7.2.2.2

Déplacez

$3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x h + 9 x^{2} + 3 h^{2} + 1$

Étape 7.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$9 x h$ et

$9 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Étape 9

Évaluez la limite de

$9 x^{2}$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Étape 10

Placez le terme

$9 x$ hors de la limite car il constant par rapport à

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Étape 11

Placez le terme

$3$ hors de la limite car il constant par rapport à

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Étape 12

Déplacez l’exposant

$2$ de

$h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

Étape 13

Évaluez la limite de

$1$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$9 x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant

$0$ pour toutes les occurrences de

$h$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de

$h$ en insérant

$0$ pour

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 1$

Étape 14.2

Évaluez la limite de

$h$ en insérant

$0$ pour

$h$ .

$9 x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez

$9 x \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1.1

Multipliez

$0$ par

$9$ .

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 15.1.1.2

Multipliez

$0$ par

$x$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 15.1.2

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

Étape 15.1.3

Multipliez

$3$ par

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

Étape 15.2

Associez les termes opposés dans

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$ .

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Étape 15.2.1

Additionnez

$9 x^{2}$ et

$0$ .

$9 x^{2} + 0 + 1$

Étape 15.2.2

Additionnez

$9 x^{2}$ et

$0$ .

$9 x^{2} + 1$

Étape 16

Déterminez la pente

$m$ . Dans ce cas

$m = 10$ .

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Étape 16.1

Supprimez les parenthèses.

$m = 9 \cdot 1^{2} + 1$

Étape 16.2

Simplifiez

$9 \cdot 1^{2} + 1$ .

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

Étape 16.2.1.2

Multipliez

$9$ par

$1$ .

$m = 9 + 1$

Étape 16.2.2

Additionnez

$9$ et

$1$ .

$m = 10$

Étape 17

La pente est

$m = 10$ et le point central est

$(1, 7)$ .

$m = 10, (1, 7)$

Étape 18

Déterminez la valeur de

$b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 18.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer

$b$ .

$y = m x + b$

Étape 18.2

Remplacez la valeur de

$m$ dans l’équation.

$y = (10) \cdot x + b$

Étape 18.3

Remplacez la valeur de

$x$ dans l’équation.

$y = (10) \cdot (1) + b$

Étape 18.4

Remplacez la valeur de

$y$ dans l’équation.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

Étape 18.5

Déterminez la valeur de

$b$ .

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Étape 18.5.1

Réécrivez l’équation comme

$(10) \cdot (1) + b = 7$ .

$(10) \cdot (1) + b = 7$

Étape 18.5.2

Multipliez

$10$ par

$1$ .

$10 + b = 7$

Étape 18.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 18.5.3.1

Soustrayez

$10$ des deux côtés de l’équation.

$b = 7 - 10$

Étape 18.5.3.2

Soustrayez

$10$ de

$7$ .

$b = - 3$

Étape 19

Maintenant que les valeurs de

$m$ (pente) et

$b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans

$y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 10 x - 3$

Étape 20

Saisissez VOTRE problème