Calcul infinitésimal Exemples

y = x^{2} + 3 x + 34

$y = x^{2} + 3 x + 34$ ,

(0, 34)

$(0, 34)$

Étape 1

Écrivez

y = x^{2} + 3 x + 34

$y = x^{2} + 3 x + 34$ comme une fonction.

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ sur

x = 0

$x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

0

$0$ dans l’expression.

f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

f (0) = 0 + 3 (0) + 34

$f (0) = 0 + 3 (0) + 34$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez

3

$3$ par

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 34

$f (0) = 0 + 0 + 34$

f (0) = 0 + 0 + 34

$f (0) = 0 + 0 + 34$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

f (0) = 0 + 34

$f (0) = 0 + 34$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez

0

$0$ et

34

$34$ .

f (0) = 34

$f (0) = 34$

f (0) = 34

$f (0) = 34$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est

34

$34$ .

34

$34$

34

$34$

34

$34$

Étape 2.2

Comme

34 = 34

$34 = 34$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

m

$m$

=

$=$ La dérivée de

f (x) = x^{2} + 3 x + 34

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur

$x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable

$x$ par

$x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Réécrivez

${(x + h)}^{2}$ comme

$(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.2

Développez

$(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.3.1.1

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3.1.2

Multipliez

$h$ par

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3.2

Additionnez

$x h$ et

$h x$ .

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Étape 5.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre

$x$ et

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3.2.2

Additionnez

$h x$ et

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez

$3 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Étape 5.2.2

Déplacez

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre

$2 h x$ et

$h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

Étape 7.1.3

Soustrayez

$x^{2}$ de

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}$

Étape 7.1.4

Additionnez

$h^{2}$ et

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}$

Étape 7.1.5

Soustrayez

$3 x$ de

$3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}$

Étape 7.1.6

Additionnez

$h^{2}$ et

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}$

Étape 7.1.7

Soustrayez

$34$ de

$34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Étape 7.1.8

Additionnez

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ et

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.9

Factorisez

$h$ à partir de

$h^{2} + 2 h x + 3 h$ .

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Étape 7.1.9.1

Factorisez

$h$ à partir de

$h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.9.2

Factorisez

$h$ à partir de

$2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Étape 7.1.9.3

Factorisez

$h$ à partir de

$3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.9.4

Factorisez

$h$ à partir de

$h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.9.5

Factorisez

$h$ à partir de

$h (h + 2 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de

$h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez

$h + 2 x + 3$ par

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 3$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre

$h$ et

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 3$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.2

Évaluez la limite de

$2 x$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.3

Évaluez la limite de

$3$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 3$

Étape 9

Évaluez la limite de

$h$ en insérant

$0$ pour

$h$ .

$2 x + 0 + 3$

Étape 10

Additionnez

$2 x$ et

$0$ .

$2 x + 3$

Étape 11

Simplifiez

$2 (0) + 3$ .

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Étape 11.1

Multipliez

$2$ par

$0$ .

$m = 0 + 3$

Étape 11.2

Additionnez

$0$ et

$3$ .

$m = 3$

Étape 12

La pente est

$m = 3$ et le point central est

$(0, 34)$ .

$m = 3, (0, 34)$

Étape 13

Déterminez la valeur de

$b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 13.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer

$b$ .

$y = m x + b$

Étape 13.2

Remplacez la valeur de

$m$ dans l’équation.

$y = (3) \cdot x + b$

Étape 13.3

Remplacez la valeur de

$x$ dans l’équation.

$y = (3) \cdot (0) + b$

Étape 13.4

Remplacez la valeur de

$y$ dans l’équation.

$34 = (3) \cdot (0) + b$

Étape 13.5

Déterminez la valeur de

$b$ .

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Étape 13.5.1

Réécrivez l’équation comme

$(3) \cdot (0) + b = 34$ .

$(3) \cdot (0) + b = 34$

Étape 13.5.2

Simplifiez

$(3) \cdot (0) + b$ .

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Étape 13.5.2.1

Multipliez

$3$ par

$0$ .

$0 + b = 34$

Étape 13.5.2.2

Additionnez

$0$ et

$b$ .

$b = 34$

Étape 14

Maintenant que les valeurs de

$m$ (pente) et

$b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans

$y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 3 x + 34$

Étape 15

Saisissez VOTRE problème