Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 3 x + 34$ , $(0, 34)$

Étape 1

Écrivez $y = x^{2} + 3 x + 34$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ sur $x = 0$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} + 3 (0) + 34$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 3 (0) + 34$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 34$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 34$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $34$ .

$f (0) = 34$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $34$ .

$34$

Étape 2.2

Comme $34 = 34$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 5.1.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 (x + h) + 34$

Étape 5.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 x + 3 h + 34$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez $3 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Étape 5.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $2 h x$ et $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34$

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - (x^{2} + 3 x + 34)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - (3 x) - 1 \cdot 34}{h}$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 1 \cdot 34}{h}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 3 h + 3 x + 34 - x^{2} - 3 x - 34}{h}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 + 0 - 3 x - 34}{h}$

Étape 7.1.4

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 3 x + 34 - 3 x - 34}{h}$

Étape 7.1.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0 + 34 - 34}{h}$

Étape 7.1.6

Additionnez $h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 34 - 34}{h}$

Étape 7.1.7

Soustrayez $34$ de $34$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h + 0}{h}$

Étape 7.1.8

Additionnez $h^{2} + 2 h x + 3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.9

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} + 2 h x + 3 h$ .

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Étape 7.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 3 h}{h}$

Étape 7.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 3 h}{h}$

Étape 7.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 3}{h}$

Étape 7.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 3)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $h + 2 x + 3$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 3$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre $h$ et $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 3$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $2 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 3$

Étape 9

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$2 x + 0 + 3$

Étape 10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x + 3$

Étape 11

Simplifiez $2 (0) + 3$ .

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Étape 11.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$m = 0 + 3$

Étape 11.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$m = 3$

Étape 12

La pente est $m = 3$ et le point central est $(0, 34)$ .

$m = 3, (0, 34)$

Étape 13

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 13.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 13.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (3) \cdot x + b$

Étape 13.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (3) \cdot (0) + b$

Étape 13.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$34 = (3) \cdot (0) + b$

Étape 13.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 13.5.1

Réécrivez l’équation comme $(3) \cdot (0) + b = 34$ .

$(3) \cdot (0) + b = 34$

Étape 13.5.2

Simplifiez $(3) \cdot (0) + b$ .

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Étape 13.5.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + b = 34$

Étape 13.5.2.2

Additionnez $0$ et $b$ .

$b = 34$

Étape 14

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 3 x + 34$

Étape 15

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