Calcul infinitésimal Exemples

y' + y'' = 6 e^{2 x}

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ ,

y = e^{2 x}

$y = e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez

y'

$y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Étape 1.2

La dérivée de

y

$y$ par rapport à

x

$x$ est

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ et

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 x

$2 x$ .

e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

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Étape 1.3.2.1

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

e^{2 x} (2 \cdot 1)

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.3.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

e^{2 x} \cdot 2

$e^{2 x} \cdot 2$

Étape 1.3.2.3.2

Déplacez

2

$2$ à gauche de

e^{2 x}

$e^{2 x}$ .

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

y' = 2 e^{2 x}

$y' = 2 e^{2 x}$

y' = 2 e^{2 x}

$y' = 2 e^{2 x}$

Étape 2

Déterminez

y''

$y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Étape 2.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ et

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

2 x

$2 x$ .

y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ où

a

$a$ =

e

$e$ .

y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

2 x

$2 x$ .

y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4

Supprimez les parenthèses.

y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.5

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 2.8

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

y'' = 4 e^{2 x}

$y'' = 4 e^{2 x}$

y'' = 4 e^{2 x}

$y'' = 4 e^{2 x}$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Étape 4

Additionnez

2 e^{2 x}

$2 e^{2 x}$ et

4 e^{2 x}

$4 e^{2 x}$ .

6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Étape 5

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

y = e^{2 x}

$y = e^{2 x}$ est une solution à

y' + y'' = 6 e^{2 x}

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$

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