Calcul infinitésimal Exemples

\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ ,

y (1) = 1

$y (1) = 1$

Étape 1

Supposez que

\frac{d y}{d x} = f (x, y)

$\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Étape 2

Vérifiez si la fonction est continue aux alentours de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs

(1, 1)

$(1, 1)$ dans

\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez

x

$x$ par

1

$1$ .

2 \cdot 1^{3} y

$2 \cdot 1^{3} y$

Étape 2.1.2

Remplacez

y

$y$ par

1

$1$ .

2 \cdot 1^{3} \cdot 1

$2 \cdot 1^{3} \cdot 1$

2 \cdot 1^{3} \cdot 1

$2 \cdot 1^{3} \cdot 1$

Étape 2.2

Comme il n’y a pas de logarithme avec un argument négatif ou nul, pas de radical pair avec un radicande négatif ou nul et pas de fraction avec zéro dans le dénominateur, la fonction est continue sur un intervalle ouvert autour de la valeur

x

$x$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Continu

Étape 3

Déterminez la dérivée partielle par rapport à

y

$y$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée partielle.

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Étape 3.2

Comme

2 x^{3}

$2 x^{3}$ est constant par rapport à

y

$y$ , la dérivée de

2 x^{3} y

$2 x^{3} y$ par rapport à

y

$y$ est

2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]

$2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}$

\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}$

Étape 4

Vérifiez si la dérivée partielle par rapport à

y

$y$ est continue aux alentours de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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Étape 4.1

y

$y$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

Continu

Étape 5

La fonction et sa dérivée partielle par rapport à

y

$y$ sont continues sur un intervalle ouvert autour de la valeur

x

$x$ de

(1, 1)

$(1, 1)$ .

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