Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \tan (x)$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Étape 1.2

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Étape 1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec (x)$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sec (x)$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1$

Étape 2.2

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\sec (x) y = \int \sec (x) d x$

Étape 6

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ par $\sec (x)$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ par $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x)$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.3.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.3.1.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.3.1.5

Divisez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ par $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Étape 7.3.1.6

Séparez les fractions.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Étape 7.3.1.7

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Étape 7.3.1.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Étape 7.3.1.9

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Étape 7.3.1.10

Divisez $C$ par $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

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