Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule

$e^{\int P (x) d x}$ , où

$P (x) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration

$e^{x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x}$

Étape 2.2

Multipliez

$e^{x}$ par

$e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x}$

Étape 2.2.2

Additionnez

$x$ et

$x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{2 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} y = \int e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Laissez

$u = 2 x$ . Alors

$d u = 2 d x$ , donc

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec

$u$ et

$d$

$u$ .

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Étape 6.1.1

Laissez

$u = 2 x$ . Déterminez

$\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Différenciez

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.1.2

Comme

$2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$2 x$ par rapport à

$x$ est

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.1.4

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$2$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u$ et

$d u$ .

$e^{x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6.2

Associez

$e^{u}$ et

$\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.3

Comme

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

$u$ , placez

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 6.4

L’intégrale de

$e^{u}$ par rapport à

$u$ est

$e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Étape 6.5

Simplifiez

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Étape 6.6

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$2 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ par

$e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ par

$e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de

$e^{x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à

$e^{2 x}$ et

$e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez

$e^{x}$ à partir de

$\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par

$1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez

$\frac{1}{2} e^{x}$ par

$1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Saisissez VOTRE problème