Calcul infinitésimal Exemples
x⋅dydx=y+√xy
Étape 1
Étape 1.1
Divisez chaque terme dans x⋅dydx=y+√xy par x et simplifiez.
Étape 1.1.1
Divisez chaque terme dans x⋅dydx=y+√xy par x.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Étape 1.1.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.1.2.1
Annulez le facteur commun de x.
Étape 1.1.2.1.1
Annulez le facteur commun.
x⋅dydxx=yx+√xyx
Étape 1.1.2.1.2
Divisez dydx par 1.
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
dydx=yx+√xyx
Étape 1.2
Supposez que √x2=x.
dydx=yx+√xy√x2
Étape 1.3
Associez √xy et √x2 en un radical unique.
dydx=yx+√xyx2
Étape 1.4
Réduisez l’expression xyx2 en annulant les facteurs communs.
Étape 1.4.1
Factorisez x à partir de xy.
dydx=yx+√x(y)x2
Étape 1.4.2
Factorisez x à partir de x2.
dydx=yx+√x(y)x⋅x
Étape 1.4.3
Annulez le facteur commun.
dydx=yx+√xyx⋅x
Étape 1.4.4
Réécrivez l’expression.
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
Étape 2
Laissez V=yx. Remplacez yx par V.
dydx=V+√V
Étape 3
Résolvez V=yx pour y.
y=Vx
Étape 4
Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de y=Vx par rapport à x.
dydx=xdVdx+V
Étape 5
Remplacez dydx par xdVdx+V.
xdVdx+V=V+√V
Étape 6
Étape 6.1
Séparez les variables.
Étape 6.1.1
Résolvez dVdx.
Étape 6.1.1.1
Déplacez tous les termes ne contenant pas dVdx du côté droit de l’équation.
Étape 6.1.1.1.1
Soustrayez V des deux côtés de l’équation.
xdVdx=V+√V-V
Étape 6.1.1.1.2
Associez les termes opposés dans V+√V-V.
Étape 6.1.1.1.2.1
Soustrayez V de V.
xdVdx=0+√V
Étape 6.1.1.1.2.2
Additionnez 0 et √V.
xdVdx=√V
xdVdx=√V
xdVdx=√V
Étape 6.1.1.2
Divisez chaque terme dans xdVdx=√V par x et simplifiez.
Étape 6.1.1.2.1
Divisez chaque terme dans xdVdx=√V par x.
xdVdxx=√Vx
Étape 6.1.1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.1.1.2.2.1
Annulez le facteur commun de x.
Étape 6.1.1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
xdVdxx=√Vx
Étape 6.1.1.2.2.1.2
Divisez dVdx par 1.
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
Étape 6.1.2
Multipliez les deux côtés par 1√V.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Étape 6.1.3
Annulez le facteur commun de √V.
Étape 6.1.3.1
Annulez le facteur commun.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
Étape 6.1.3.2
Réécrivez l’expression.
1√VdVdx=1x
1√VdVdx=1x
Étape 6.1.4
Réécrivez l’équation.
1√VdV=1xdx
1√VdV=1xdx
Étape 6.2
Intégrez les deux côtés.
Étape 6.2.1
Définissez une intégrale de chaque côté.
∫1√VdV=∫1xdx
Étape 6.2.2
Intégrez le côté gauche.
Étape 6.2.2.1
Appliquez les règles de base des exposants.
Étape 6.2.2.1.1
Utilisez n√ax=axn pour réécrire √V comme V12.
∫1V12dV=∫1xdx
Étape 6.2.2.1.2
Retirez V12 du dénominateur en l’élevant à la puissance -1.
∫(V12)-1dV=∫1xdx
Étape 6.2.2.1.3
Multipliez les exposants dans (V12)-1.
Étape 6.2.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
∫V12⋅-1dV=∫1xdx
Étape 6.2.2.1.3.2
Associez 12 et -1.
∫V-12dV=∫1xdx
Étape 6.2.2.1.3.3
Placez le signe moins devant la fraction.
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
Étape 6.2.2.2
Selon la règle de puissance, l’intégrale de V-12 par rapport à V est 2V12.
2V12+C1=∫1xdx
2V12+C1=∫1xdx
Étape 6.2.3
L’intégrale de 1x par rapport à x est ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Étape 6.2.4
Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Étape 6.3
Résolvez V.
Étape 6.3.1
Divisez chaque terme dans 2V12=ln(|x|)+C par 2 et simplifiez.
Étape 6.3.1.1
Divisez chaque terme dans 2V12=ln(|x|)+C par 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Étape 6.3.1.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.3.1.2.1
Annulez le facteur commun.
2V122=ln(|x|)2+C2
Étape 6.3.1.2.2
Divisez V12 par 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Étape 6.3.1.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.3.1.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.3.1.3.1.1
Réécrivez ln(|x|)2 comme 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Étape 6.3.1.3.1.2
Simplifiez 12ln(|x|) en déplaçant 12 dans le logarithme.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Étape 6.3.2
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance 2 pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.3.3.1
Simplifiez (V12)2.
Étape 6.3.3.1.1
Multipliez les exposants dans (V12)2.
Étape 6.3.3.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3.1.1.2
Annulez le facteur commun de 2.
Étape 6.3.3.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3.1.2
Simplifiez
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.4
Simplifiez la constante d’intégration.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Étape 7
Remplacez V par yx.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Étape 8
Étape 8.1
Multipliez les deux côtés par x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Étape 8.2
Simplifiez
Étape 8.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 8.2.1.1
Annulez le facteur commun de x.
Étape 8.2.1.1.1
Annulez le facteur commun.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Étape 8.2.1.1.2
Réécrivez l’expression.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Étape 8.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 8.2.2.1
Remettez les facteurs dans l’ordre dans (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2