Calcul infinitésimal Exemples

xdydx=y+xy
Étape 1
Réécrivez l’équation différentielle en fonction de yx.
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Étape 1.1
Divisez chaque terme dans xdydx=y+xy par x et simplifiez.
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Étape 1.1.1
Divisez chaque terme dans xdydx=y+xy par x.
xdydxx=yx+xyx
Étape 1.1.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.1.2.1
Annulez le facteur commun de x.
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Étape 1.1.2.1.1
Annulez le facteur commun.
xdydxx=yx+xyx
Étape 1.1.2.1.2
Divisez dydx par 1.
dydx=yx+xyx
dydx=yx+xyx
dydx=yx+xyx
dydx=yx+xyx
Étape 1.2
Supposez que x2=x.
dydx=yx+xyx2
Étape 1.3
Associez xy et x2 en un radical unique.
dydx=yx+xyx2
Étape 1.4
Réduisez l’expression xyx2 en annulant les facteurs communs.
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Étape 1.4.1
Factorisez x à partir de xy.
dydx=yx+x(y)x2
Étape 1.4.2
Factorisez x à partir de x2.
dydx=yx+x(y)xx
Étape 1.4.3
Annulez le facteur commun.
dydx=yx+xyxx
Étape 1.4.4
Réécrivez l’expression.
dydx=yx+yx
dydx=yx+yx
dydx=yx+yx
Étape 2
Laissez V=yx. Remplacez yx par V.
dydx=V+V
Étape 3
Résolvez V=yx pour y.
y=Vx
Étape 4
Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de y=Vx par rapport à x.
dydx=xdVdx+V
Étape 5
Remplacez dydx par xdVdx+V.
xdVdx+V=V+V
Étape 6
Résolvez l’équation différentielle remplacée.
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Étape 6.1
Séparez les variables.
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Étape 6.1.1
Résolvez dVdx.
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Étape 6.1.1.1
Déplacez tous les termes ne contenant pas dVdx du côté droit de l’équation.
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Étape 6.1.1.1.1
Soustrayez V des deux côtés de l’équation.
xdVdx=V+V-V
Étape 6.1.1.1.2
Associez les termes opposés dans V+V-V.
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Étape 6.1.1.1.2.1
Soustrayez V de V.
xdVdx=0+V
Étape 6.1.1.1.2.2
Additionnez 0 et V.
xdVdx=V
xdVdx=V
xdVdx=V
Étape 6.1.1.2
Divisez chaque terme dans xdVdx=V par x et simplifiez.
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Étape 6.1.1.2.1
Divisez chaque terme dans xdVdx=V par x.
xdVdxx=Vx
Étape 6.1.1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1.2.2.1
Annulez le facteur commun de x.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
xdVdxx=Vx
Étape 6.1.1.2.2.1.2
Divisez dVdx par 1.
dVdx=Vx
dVdx=Vx
dVdx=Vx
dVdx=Vx
dVdx=Vx
Étape 6.1.2
Multipliez les deux côtés par 1V.
1VdVdx=1VVx
Étape 6.1.3
Annulez le facteur commun de V.
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Étape 6.1.3.1
Annulez le facteur commun.
1VdVdx=1VVx
Étape 6.1.3.2
Réécrivez l’expression.
1VdVdx=1x
1VdVdx=1x
Étape 6.1.4
Réécrivez l’équation.
1VdV=1xdx
1VdV=1xdx
Étape 6.2
Intégrez les deux côtés.
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Étape 6.2.1
Définissez une intégrale de chaque côté.
1VdV=1xdx
Étape 6.2.2
Intégrez le côté gauche.
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Étape 6.2.2.1
Appliquez les règles de base des exposants.
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Étape 6.2.2.1.1
Utilisez nax=axn pour réécrire V comme V12.
1V12dV=1xdx
Étape 6.2.2.1.2
Retirez V12 du dénominateur en l’élevant à la puissance -1.
(V12)-1dV=1xdx
Étape 6.2.2.1.3
Multipliez les exposants dans (V12)-1.
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Étape 6.2.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
V12-1dV=1xdx
Étape 6.2.2.1.3.2
Associez 12 et -1.
V-12dV=1xdx
Étape 6.2.2.1.3.3
Placez le signe moins devant la fraction.
V-12dV=1xdx
V-12dV=1xdx
V-12dV=1xdx
Étape 6.2.2.2
Selon la règle de puissance, l’intégrale de V-12 par rapport à V est 2V12.
2V12+C1=1xdx
2V12+C1=1xdx
Étape 6.2.3
L’intégrale de 1x par rapport à x est ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
Étape 6.2.4
Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
Étape 6.3
Résolvez V.
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Étape 6.3.1
Divisez chaque terme dans 2V12=ln(|x|)+C par 2 et simplifiez.
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Étape 6.3.1.1
Divisez chaque terme dans 2V12=ln(|x|)+C par 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
Étape 6.3.1.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 6.3.1.2.1
Annulez le facteur commun.
2V122=ln(|x|)2+C2
Étape 6.3.1.2.2
Divisez V12 par 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
Étape 6.3.1.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 6.3.1.3.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 6.3.1.3.1.1
Réécrivez ln(|x|)2 comme 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
Étape 6.3.1.3.1.2
Simplifiez 12ln(|x|) en déplaçant 12 dans le logarithme.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
Étape 6.3.2
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance 2 pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 6.3.3.1
Simplifiez (V12)2.
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Étape 6.3.3.1.1
Multipliez les exposants dans (V12)2.
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Étape 6.3.3.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
V122=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3.1.1.2
Annulez le facteur commun de 2.
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Étape 6.3.3.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
V122=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.3.3.1.2
Simplifiez
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
Étape 6.4
Simplifiez la constante d’intégration.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
Étape 7
Remplacez V par yx.
yx=(ln(|x|12)+C)2
Étape 8
Résolvez yx=(ln(|x|12)+C)2 pour y.
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Étape 8.1
Multipliez les deux côtés par x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Étape 8.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1.1
Annulez le facteur commun de x.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.2.1.1.1
Annulez le facteur commun.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
Étape 8.2.1.1.2
Réécrivez l’expression.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
Étape 8.2.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 8.2.2.1
Remettez les facteurs dans l’ordre dans (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
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