Calcul infinitésimal Exemples

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Supposez que

\sqrt{y^{2}} = y

$\sqrt{y^{2}} = y$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Étape 1.2

Associez

\sqrt{y^{2}}

$\sqrt{y^{2}}$ et

\sqrt{x y}

$\sqrt{x y}$ en un radical unique.

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

Étape 1.3

Réduisez l’expression

\frac{y^{2}}{x y}

$\frac{y^{2}}{x y}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.3.1

Factorisez

y

$y$ à partir de

y^{2}

$y^{2}$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

Étape 1.3.2

Factorisez

y

$y$ à partir de

x y

$x y$ .

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Étape 1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Étape 2

Laissez

$V = \frac{y}{x}$ . Remplacez

$\frac{y}{x}$ par

$V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Étape 3

Résolvez

$V = \frac{y}{x}$ pour

$y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de

$y = V x$ par rapport à

$x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez

$\frac{d y}{d x}$ par

$x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez

$\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez

$V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans

$V + \sqrt{V} - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez

$V$ de

$V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez

$0$ et

$\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ par

$x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ par

$x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez

$\frac{d V}{d x}$ par

$1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par

$\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de

$\sqrt{V}$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{V}$ comme

$V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Retirez

$V^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance

$- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3.2

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$V^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à

$V$ est

$2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de

$\frac{1}{x}$ par rapport à

$x$ est

$\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme

$C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez

$V$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ par

$2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.2.2

Divisez

$V^{\frac{1}{2}}$ par

$1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ comme

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant

$\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Étape 6.3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance

$2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.3.3.1.2

Simplifiez

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Étape 7

Remplacez

$V$ par

$\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Étape 8

Résolvez

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ pour

$y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par

$x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

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