Calcul infinitésimal Exemples
dydx=yx-(yx)2dydx=yx−(yx)2
Étape 1
Laissez V=yx. Remplacez yx par V.
dydx=V-V2
Étape 2
Résolvez V=yx pour y.
y=Vx
Étape 3
Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de y=Vx par rapport à x.
dydx=xdVdx+V
Étape 4
Remplacez dydx par xdVdx+V.
xdVdx+V=V-V2
Étape 5
Étape 5.1
Séparez les variables.
Étape 5.1.1
Résolvez dVdx.
Étape 5.1.1.1
Déplacez tous les termes ne contenant pas dVdx du côté droit de l’équation.
Étape 5.1.1.1.1
Soustrayez V des deux côtés de l’équation.
xdVdx=V-V2-V
Étape 5.1.1.1.2
Associez les termes opposés dans V-V2-V.
Étape 5.1.1.1.2.1
Soustrayez V de V.
xdVdx=-V2+0
Étape 5.1.1.1.2.2
Additionnez -V2 et 0.
xdVdx=-V2
xdVdx=-V2
xdVdx=-V2
Étape 5.1.1.2
Divisez chaque terme dans xdVdx=-V2 par x et simplifiez.
Étape 5.1.1.2.1
Divisez chaque terme dans xdVdx=-V2 par x.
xdVdxx=-V2x
Étape 5.1.1.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.1.1.2.2.1
Annulez le facteur commun de x.
Étape 5.1.1.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
xdVdxx=-V2x
Étape 5.1.1.2.2.1.2
Divisez dVdx par 1.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Étape 5.1.1.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.1.1.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
dVdx=-V2x
Étape 5.1.2
Multipliez les deux côtés par 1V2.
1V2dVdx=1V2(-V2x)
Étape 5.1.3
Simplifiez
Étape 5.1.3.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Étape 5.1.3.2
Annulez le facteur commun de V2.
Étape 5.1.3.2.1
Placez le signe négatif initial dans -1V2 dans le numérateur.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Étape 5.1.3.2.2
Annulez le facteur commun.
1V2dVdx=-1V2⋅V2x
Étape 5.1.3.2.3
Réécrivez l’expression.
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
1V2dVdx=-1x
Étape 5.1.4
Réécrivez l’équation.
1V2dV=-1xdx
1V2dV=-1xdx
Étape 5.2
Intégrez les deux côtés.
Étape 5.2.1
Définissez une intégrale de chaque côté.
∫1V2dV=∫-1xdx
Étape 5.2.2
Intégrez le côté gauche.
Étape 5.2.2.1
Appliquez les règles de base des exposants.
Étape 5.2.2.1.1
Retirez V2 du dénominateur en l’élevant à la puissance -1.
∫(V2)-1dV=∫-1xdx
Étape 5.2.2.1.2
Multipliez les exposants dans (V2)-1.
Étape 5.2.2.1.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, (am)n=amn.
∫V2⋅-1dV=∫-1xdx
Étape 5.2.2.1.2.2
Multipliez 2 par -1.
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
∫V-2dV=∫-1xdx
Étape 5.2.2.2
Selon la règle de puissance, l’intégrale de V-2 par rapport à V est -V-1.
-V-1+C1=∫-1xdx
Étape 5.2.2.3
Réécrivez -V-1+C1 comme -1V+C1.
-1V+C1=∫-1xdx
-1V+C1=∫-1xdx
Étape 5.2.3
Intégrez le côté droit.
Étape 5.2.3.1
Comme -1 est constant par rapport à x, placez -1 en dehors de l’intégrale.
-1V+C1=-∫1xdx
Étape 5.2.3.2
L’intégrale de 1x par rapport à x est ln(|x|).
-1V+C1=-(ln(|x|)+C2)
Étape 5.2.3.3
Simplifiez
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
-1V+C1=-ln(|x|)+C2
Étape 5.2.4
Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme C.
-1V=-ln(|x|)+C
-1V=-ln(|x|)+C
Étape 5.3
Résolvez V.
Étape 5.3.1
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Étape 5.3.1.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
V,1,1
Étape 5.3.1.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
V
V
Étape 5.3.2
Multiplier chaque terme dans -1V=-ln(|x|)+C par V afin d’éliminer les fractions.
Étape 5.3.2.1
Multipliez chaque terme dans -1V=-ln(|x|)+C par V.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Étape 5.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.3.2.2.1
Annulez le facteur commun de V.
Étape 5.3.2.2.1.1
Placez le signe négatif initial dans -1V dans le numérateur.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Étape 5.3.2.2.1.2
Annulez le facteur commun.
-1VV=-ln(|x|)V+CV
Étape 5.3.2.2.1.3
Réécrivez l’expression.
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
-1=-ln(|x|)V+CV
Étape 5.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.3.2.3.1
Remettez les facteurs dans l’ordre dans -ln(|x|)V+CV.
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
-1=-Vln(|x|)+CV
Étape 5.3.3
Résolvez l’équation.
Étape 5.3.3.1
Réécrivez l’équation comme -Vln(|x|)+CV=-1.
-Vln(|x|)+CV=-1
Étape 5.3.3.2
Factorisez V à partir de -Vln(|x|)+CV.
Étape 5.3.3.2.1
Factorisez V à partir de -Vln(|x|).
V(-1ln(|x|))+CV=-1
Étape 5.3.3.2.2
Factorisez V à partir de CV.
V(-1ln(|x|))+VC=-1
Étape 5.3.3.2.3
Factorisez V à partir de V(-1ln(|x|))+VC.
V(-1ln(|x|)+C)=-1
V(-1ln(|x|)+C)=-1
Étape 5.3.3.3
Réécrivez -1ln(|x|) comme -ln(|x|).
V(-ln(|x|)+C)=-1
Étape 5.3.3.4
Divisez chaque terme dans V(-ln(|x|)+C)=-1 par -ln(|x|)+C et simplifiez.
Étape 5.3.3.4.1
Divisez chaque terme dans V(-ln(|x|)+C)=-1 par -ln(|x|)+C.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Étape 5.3.3.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.3.3.4.2.1
Annulez le facteur commun de -ln(|x|)+C.
Étape 5.3.3.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
V(-ln(|x|)+C)-ln(|x|)+C=-1-ln(|x|)+C
Étape 5.3.3.4.2.1.2
Divisez V par 1.
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
V=-1-ln(|x|)+C
Étape 5.3.3.4.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.3.3.4.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
V=-1-ln(|x|)+C
Étape 5.3.3.4.3.2
Factorisez -1 à partir de -ln(|x|).
V=-1-(ln(|x|))+C
Étape 5.3.3.4.3.3
Factorisez -1 à partir de C.
V=-1-(ln(|x|))-1(-C)
Étape 5.3.3.4.3.4
Factorisez -1 à partir de -(ln(|x|))-1(-C).
V=-1-(ln(|x|)-C)
Étape 5.3.3.4.3.5
Simplifiez l’expression.
Étape 5.3.3.4.3.5.1
Réécrivez -(ln(|x|)-C) comme -1(ln(|x|)-C).
V=-1-1(ln(|x|)-C)
Étape 5.3.3.4.3.5.2
Placez le signe moins devant la fraction.
V=--1ln(|x|)-C
Étape 5.3.3.4.3.5.3
Multipliez -1 par -1.
V=11ln(|x|)-C
Étape 5.3.3.4.3.5.4
Multipliez 1ln(|x|)-C par 1.
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
V=1ln(|x|)-C
Étape 5.4
Simplifiez la constante d’intégration.
V=1ln(|x|)+C
V=1ln(|x|)+C
Étape 6
Remplacez V par yx.
yx=1ln(|x|)+C
Étape 7
Étape 7.1
Multipliez les deux côtés par x.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Étape 7.2
Simplifiez
Étape 7.2.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 7.2.1.1
Annulez le facteur commun de x.
Étape 7.2.1.1.1
Annulez le facteur commun.
yxx=1ln(|x|)+Cx
Étape 7.2.1.1.2
Réécrivez l’expression.
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
y=1ln(|x|)+Cx
Étape 7.2.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 7.2.2.1
Associez 1ln(|x|)+C et x.
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C
y=xln(|x|)+C