Calcul infinitésimal Exemples

(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0

$(2 x + y) d x + (x + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ où

M (x, y) = 2 x + y

$M (x, y) = 2 x + y$ .

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Étape 1.1

Différenciez

M

$M$ par rapport à

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

2 x + y

$2 x + y$ par rapport à

y

$y$ est

\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Comme

2 x

$2 x$ est constant par rapport à

y

$y$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

y

$y$ est

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Étape 1.5

Additionnez

0

$0$ et

1

$1$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

\frac{\partial M}{\partial y} = 1

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ où

N (x, y) = x + 1

$N (x, y) = x + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez

N

$N$ par rapport à

x

$x$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x + 1

$x + 1$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Comme

1

$1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

1

$1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 2.5

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

\frac{\partial N}{\partial x} = 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

\frac{\partial N}{\partial x} = 1

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 3

Vérifiez que

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ par

1

$1$ et

\frac{\partial N}{\partial x}

$\frac{\partial N}{\partial x}$ par

1

$1$ .

1 = 1

$1 = 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

1 = 1

$1 = 1$ est une identité.

1 = 1

$1 = 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez

f (x, y)

$f (x, y)$ égal à l’intégrale de

M (x, y)

$M (x, y)$ .

f (x, y) = \int 2 x + y d x

$f (x, y) = \int 2 x + y d x$

Étape 5

Intégrez

M (x, y) = 2 x + y

$M (x, y) = 2 x + y$ pour déterminer

f (x, y)

$f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y d x$

Étape 5.2

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

2

$2$ en dehors de l’intégrale.

f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

x

$x$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Étape 5.5

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

x^{2}

$x^{2}$ .

f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

f (x, y) = x^{2} + y x + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

f (x, y) = x^{2} + y x + C

$f (x, y) = x^{2} + y x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de

g (y)

$g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer

C

$C$ par

g (y)

$g (y)$ .

f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$

Étape 7

Définissez

\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 1$

Étape 8

Déterminez

\frac{\partial f}{\partial y}

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez

f

$f$ par rapport à

y

$y$ .

\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y x + g (y)] = x + 1$

Étape 8.2

Différenciez.

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Étape 8.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{2} + y x + g (y)

$x^{2} + y x + g (y)$ par rapport à

y

$y$ est

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Étape 8.2.2

Comme

x^{2}

$x^{2}$ est constant par rapport à

y

$y$ , la dérivée de

x^{2}

$x^{2}$ par rapport à

y

$y$ est

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Étape 8.3

Évaluez

\frac{d}{d y} [y x]

$\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme

x

$x$ est constant par rapport à

y

$y$ , la dérivée de

y x

$y x$ par rapport à

y

$y$ est

x \frac{d}{d y} [y]

$x \frac{d}{d y} [y]$ .

0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Étape 8.3.3

Multipliez

x

$x$ par

1

$1$ .

0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1

$0 + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + 1$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de

g (y)

$g (y)$ est

\frac{d g}{d y}

$\frac{d g}{d y}$ .

0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1

$0 + x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Additionnez

0

$0$ et

x

$x$ .

x + \frac{d g}{d y} = x + 1

$x + \frac{d g}{d y} = x + 1$

Étape 8.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

\frac{d g}{d y} + x = x + 1

$\frac{d g}{d y} + x = x + 1$

Étape 9

Résolvez

$\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez

$x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x + 1 - x$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans

$x + 1 - x$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez

$x$ de

$x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 1$

Étape 9.1.2.2

Additionnez

$0$ et

$1$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de

$1$ afin de déterminer

$g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de

$\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Étape 10.2

Évaluez

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C$

Étape 11

Remplacez par

$g (y)$ dans

$f (x, y) = x^{2} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y x + y + C$

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