Calcul infinitésimal Exemples

\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ où

n

$n$ est l’exposant de

y^{2}

$y^{2}$ .

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour

y

$y$ .

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de

y

$y$ par rapport à

x

$x$ .

y' = v^{- 1}

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de

v^{- 1}

$v^{- 1}$ par rapport à

x

$x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de

v^{- 1}

$v^{- 1}$ .

y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où

f (x) = 1

$f (x) = 1$ et

g (x) = v

$g (x) = v$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme

1

$1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

1

$1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.3.1

Multipliez

v

$v$ par

0

$0$ .

y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ de

0

$0$ .

y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ comme

v'

$v'$ .

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ par

- \frac{v'}{v^{2}}

$- \frac{v'}{v^{2}}$ et

y

$y$ par

v^{- 1}

$v^{- 1}$ dans l’équation d’origine

\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ .

- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation différentielle comme

\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez l’équation comme

M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)

$M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Étape 6.1.1.1

Multiplier chaque terme dans

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ par

- v^{2}

$- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1.1.1

Multipliez chaque terme dans

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ par

- v^{2}

$- v^{2}$ .

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de

v^{2}

$v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.1.2

Factorisez

v^{2}

$v^{2}$ à partir de

- v^{2}

$- v^{2}$ .

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.3

Multipliez

$\frac{d v}{d x}$ par

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.4

Multipliez

$v^{- 1}$ par

$v^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.2.1.4.1

Déplacez

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.4.3

Soustrayez

$1$ de

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.5

Simplifiez

$2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Étape 6.1.1.1.3.2

Multipliez les exposants dans

${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Étape 6.1.1.1.3.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Étape 6.1.1.1.3.3

Multipliez

$v^{- 2}$ par

$v^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1.3.3.1

Déplacez

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Étape 6.1.1.1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Étape 6.1.1.1.3.3.3

Soustrayez

$2$ de

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Étape 6.1.1.1.3.4

Simplifiez

$- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Étape 6.1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Étape 6.1.2

Factorisez

$v$ à partir de

$- 2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Étape 6.1.3

Remettez dans l’ordre

$v$ et

$- 2 x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule

$e^{\int P (x) d x}$ , où

$P (x) = - 2 x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 x d x}$

Étape 6.2.2

Intégrez

$- 2 x$ .

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Étape 6.2.2.1

Comme

$- 2$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.2.3.1

Réécrivez

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme

$- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.2.1

Associez

$- 2$ et

$\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à

$- 2$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.2.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.2.2.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2.4

Divisez

$- 1$ par

$1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration

$e^{- x^{2}}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par

$e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.7.2

Laissez

$u_{1} = - x^{2}$ . Alors

$d u_{1} = - 2 x d x$ , donc

$- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec

$u_{1}$ et

$d$

$u_{1}$ .

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Étape 6.7.2.1

Laissez

$u_{1} = - x^{2}$ . Déterminez

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Différenciez

$- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.7.2.1.2

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$- (2 x)$

Étape 6.7.2.1.4

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$- 2 x$

Étape 6.7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u_{1}$ et

$d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Étape 6.7.3

Simplifiez

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Étape 6.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Étape 6.7.3.2

Associez

$\sqrt{- u_{1}}$ et

$\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Étape 6.7.3.3

Associez

$e^{u_{1}}$ et

$\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.4

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$u_{1}$ , placez

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.5.2

Multipliez

$\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ par

$1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.6

Comme

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

$u_{1}$ , placez

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.7.7

Intégrez par parties en utilisant la formule

$\int u d v = u v - \int v d u$ , où

$u = e^{u_{1}}$ et

$d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8

Simplifiez

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Étape 6.7.8.1

Associez

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.2

Associez

$e^{u_{1}}$ et

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.3

Déplacez

$2$ à gauche de

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.4

Déplacez

$2$ à gauche de

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.5

Associez

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.6

Associez

$e^{u_{1}}$ et

$\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.8.7

Déplacez

$2$ à gauche de

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.8.8

Déplacez

$2$ à gauche de

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.9

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$u_{1}$ , placez

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.10

Simplifiez

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Étape 6.7.10.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.10.2

Multipliez

$\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ par

$1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.11

Comme

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ est constant par rapport à

$u_{1}$ , placez

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.12

L’intégrale de

$e^{u_{1}}$ par rapport à

$u_{1}$ est

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Étape 6.7.13

Simplifiez

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Étape 6.7.13.1

Réécrivez

$\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ comme

$\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2

Simplifiez

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Étape 6.7.13.2.1

Associez

$e^{u_{1}}$ et

$\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.2

Associez

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et

$\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.3

Déplacez

$2$ à gauche de

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.4

Déplacez

$2$ à gauche de

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.5

Associez

$\frac{2}{3}$ et

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.6

Associez

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ et

$e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Étape 6.7.13.2.7

Additionnez

$- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ et

$\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Étape 6.7.13.2.8

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Étape 6.7.13.2.9

Additionnez

$0$ et

$C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans

$e^{- x^{2}} v = C$ par

$e^{- x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans

$e^{- x^{2}} v = C$ par

$e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de

$e^{- x^{2}}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez

$v$ par

$1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7

Remplacez

$v$ par

$y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

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