Calcul infinitésimal Exemples

3 y'' + y = 0

$3 y'' + y = 0$ ,

y = sin (k x)

$y = \sin (k x)$

Étape 1

Déterminez

y'

$y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (sin (k x))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Étape 1.2

La dérivée de

y

$y$ par rapport à

x

$x$ est

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ et

g (x) = k x

$g (x) = k x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

k x

$k x$ .

\frac{d}{d u} [sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de

sin (u)

$\sin (u)$ par rapport à

u

$u$ est

cos (u)

$\cos (u)$ .

cos (u) \frac{d}{d x} [k x]

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

k x

$k x$ .

cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Comme

k

$k$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

k x

$k x$ par rapport à

x

$x$ est

k \frac{d}{d x} [x]

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

cos (k x) (k \cdot 1)

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.1

Multipliez

k

$k$ par

1

$1$ .

cos (k x) k

$\cos (k x) k$

Étape 1.3.2.3.2

Réorganisez les facteurs de

cos (k x) k

$\cos (k x) k$ .

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

k cos (k x)

$k \cos (k x)$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

y' = k cos (k x)

$y' = k \cos (k x)$

y' = k cos (k x)

$y' = k \cos (k x)$

Étape 2

Déterminez

y''

$y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

y'' = \frac{d}{d x} [k cos (k x)]

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Étape 2.2

Comme

k

$k$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

k cos (k x)

$k \cos (k x)$ par rapport à

x

$x$ est

k \frac{d}{d x} [cos (k x)]

$k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

y'' = k \frac{d}{d x} [cos (k x)]

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ où

f (x) = cos (x)

$f (x) = \cos (x)$ et

g (x) = k x

$g (x) = k x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

k x

$k x$ .

y'' = k (\frac{d}{d u} [cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Étape 2.3.2

La dérivée de

cos (u)

$\cos (u)$ par rapport à

u

$u$ est

- sin (u)

$- \sin (u)$ .

y'' = k (- sin (u) \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

k x

$k x$ .

y'' = k (- sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

y'' = k (- sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Étape 2.4

Comme

k

$k$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

k x

$k x$ par rapport à

x

$x$ est

k \frac{d}{d x} [x]

$k \frac{d}{d x} [x]$ .

y'' = k (- sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5

Élevez

k

$k$ à la puissance

1

$1$ .

y'' = k^{1} k (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.6

Élevez

k

$k$ à la puissance

1

$1$ .

y'' = k^{1} k^{1} (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

y'' = k^{1 + 1} (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.8

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

y'' = k^{2} (- sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

y'' = k^{2} (- sin (k x) \cdot 1)

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

y'' = k^{2} (- sin (k x))

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Étape 2.11

Réorganisez les facteurs de

k^{2} (- sin (k x))

$k^{2} (- \sin (k x))$ .

y'' = - k^{2} sin (k x)

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

y'' = - k^{2} sin (k x)

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

3 (- k^{2} sin (k x)) + y = 0

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Étape 4

Remplacez

sin (k x)

$\sin (k x)$ par

y

$y$ .

3 (- k^{2} y) + y = 0

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Étape 5

Résolvez

k

$k$ .

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Étape 5.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

- 3 k^{2} y + y = 0

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Étape 5.2

Soustrayez

y

$y$ des deux côtés de l’équation.

- 3 k^{2} y = - y

$- 3 k^{2} y = - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans

- 3 k^{2} y = - y

$- 3 k^{2} y = - y$ par

- 3 y

$- 3 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans

- 3 k^{2} y = - y

$- 3 k^{2} y = - y$ par

- 3 y

$- 3 y$ .

\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de

- 3

$- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez

$k^{2}$ par

$1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de

$y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.3

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.4.2

Élevez

$\sqrt{3}$ à la puissance

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.4.3

Élevez

$\sqrt{3}$ à la puissance

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.5.4.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.4.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.5.4.6

Réécrivez

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

$3$ .

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Étape 5.5.4.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{3}$ comme

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.4.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

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