Calcul infinitésimal Exemples

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = k x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Étape 1.3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.1

Multipliez $k$ par $1$ .

$\cos (k x) k$

Étape 1.3.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = k \cos (k x)$

Étape 2

Déterminez $y''$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Étape 2.2

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k \cos (k x)$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = k x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Étape 2.4

Comme $k$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $k x$ par rapport à $x$ est $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.6

Élevez $k$ à la puissance $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Étape 2.11

Réorganisez les facteurs de $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Étape 3

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Étape 4

Remplacez $\sin (k x)$ par $y$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Étape 5

Résolvez $k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 k^{2} y = - y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 k^{2} y = - y$ par $- 3 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 k^{2} y = - y$ par $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $k^{2}$ par $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 5.3.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Saisissez VOTRE problème