Calcul infinitésimal Exemples

x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ ,

y (1) = 1

$y (1) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans

x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ par

x

$x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans

x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ par

x

$x$ .

\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez

$\frac{d y}{d x}$ par

$1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par

$\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de

$4 y - 3$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez

$u = 4 y - 3$ . Alors

$d u = 4 d y$ , donc

$\frac{1}{4} d u = d y$ . Réécrivez avec

$u$ et

$d$

$u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez

$u = 4 y - 3$ . Déterminez

$\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez

$4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$4 y - 3$ par rapport à

$y$ est

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez

$\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme

$4$ est constant par rapport à

$y$ , la dérivée de

$4 y$ par rapport à

$y$ est

$4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est

$n y^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme

$- 3$ est constant par rapport à

$y$ , la dérivée de

$- 3$ par rapport à

$y$ est

$0$ .

$4 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$4$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u$ et

$d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez

$\frac{1}{u}$ par

$\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez

$4$ à gauche de

$u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme

$\frac{1}{4}$ est constant par rapport à

$u$ , placez

$\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de

$\frac{1}{u}$ par rapport à

$u$ est

$\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de

$\frac{1}{x}$ par rapport à

$x$ est

$\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme

$C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez

$y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par

$4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez

$\frac{1}{4}$ et

$\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez

$- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant

$4$ dans le logarithme.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans

${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Étape 3.5

Pour résoudre

$y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Étape 3.6

Réécrivez

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

$x$ et

$b$ sont des nombres réels positifs et

$b \neq 1$ , alors

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

$b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Étape 3.7

Résolvez

$y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par

$x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Étape 3.7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun de

$x^{4}$ .

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Étape 3.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Étape 3.7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Étape 3.7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$e^{4 C} x^{4}$ .

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Étape 3.7.4

Résolvez

$y$ .

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Étape 3.7.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un

$\pm$ du côté droit de l’équation car

$| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Étape 3.7.4.2

Ajoutez

$3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Étape 3.7.4.3

Divisez chaque terme dans

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ par

$4$ et simplifiez.

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Étape 3.7.4.3.1

Divisez chaque terme dans

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ par

$4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 3.7.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 3.7.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 3.7.4.3.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de

$C$ en remplaçant

$x$ par

$1$ et

$y$ par

$1$ dans

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ .

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 6

Résolvez

$C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Étape 6.2.2

Multipliez

$C$ par

$1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez

$\frac{3}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.2

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Étape 6.3.4

Soustrayez

$3$ de

$4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 6.4

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$C = 1$

Étape 7

Remplacez

$C$ par

$1$ dans

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez

$C$ par

$1$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 7.2

Multipliez

$x^{4}$ par

$1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Saisissez VOTRE problème