Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = e^{- 11 x}$ , $(0, 13)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = e^{- 11 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int e^{- 11 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{- 11 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u = - 11 x$ . Alors $d u = - 11 d x$ , donc $- \frac{1}{11} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u = - 11 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $- 11 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 11 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $- 11$ par $1$ .

$- 11$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 11} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{11}) d u$

Étape 2.3.2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{11}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{11} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{11} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{11}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{11}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{11} \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} (e^{u} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{u} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 11 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $13$ dans $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ .

$13 = - \frac{1}{11} e^{- 11 \cdot 0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $- 11$ par $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{0} + K = 13$

Étape 4.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1}{11} \cdot 1 + K = 13$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{11} + K = 13$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{1}{11}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 13 + \frac{1}{11}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{11}{11}$ .

$K = 13 \cdot \frac{11}{11} + \frac{1}{11}$

Étape 4.3.3

Associez $13$ et $\frac{11}{11}$ .

$K = \frac{13 \cdot 11}{11} + \frac{1}{11}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{13 \cdot 11 + 1}{11}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Multipliez $13$ par $11$ .

$K = \frac{143 + 1}{11}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $143$ et $1$ .

$K = \frac{144}{11}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{144}{11}$ dans $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{144}{11}$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + \frac{144}{11}$

Étape 5.2

Associez $e^{- 11 x}$ et $\frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{e^{- 11 x}}{11} + \frac{144}{11}$

Saisissez VOTRE problème