Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $1 - y^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1 - y^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{1^{2} - y^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 - y^{2}) \frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 1.2.2

Multipliez $1 - y^{2}$ par $\frac{x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - y^{2}) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 1.2.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y) x^{2}}{(1 + y) (1 - y)}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) x^{2}}{1 - y}$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$(1 - y^{2}) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(1 - y^{2}) d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$y - \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

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