Calcul infinitésimal Exemples

\frac{d y}{d t} = sin (t)

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ ,

y (0) = 1

$y (0) = 1$ ,

t = 0.5

$t = 0.5$ ,

h = 0.05

$h = 0.05$

Étape 1

Définissez

f (t, y)

$f (t, y)$ de sorte que

\frac{d y}{d t} = f (t, y)

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

f (t, y) = sin (t)

$f (t, y) = \sin (t)$

Étape 2

Déterminez

f (0, 1)

$f (0, 1)$ .

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Étape 2.1

Remplacez

t

$t$ par

0

$0$ et

y

$y$ par

1

$1$ .

f (0, 1) = sin (0)

$f (0, 1) = \sin (0)$

Étape 2.2

Évaluez

sin (0)

$\sin (0)$ .

f (0, 1) = 0

$f (0, 1) = 0$

f (0, 1) = 0

$f (0, 1) = 0$

Étape 3

Utilisez la formule récursive

y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})

$y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ pour déterminer

y_{1}

$y_{1}$ .

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Étape 3.1

Remplacez.

y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez

0.05

$0.05$ par

0

$0$ .

y_{1} = 1 + 0

$y_{1} = 1 + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

y_{1} = 1

$y_{1} = 1$

Étape 4

Utilisez la formule récursive

t_{1} = t_{0} + h

$t_{1} = t_{0} + h$ pour déterminer

t_{1}

$t_{1}$ .

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Étape 4.1

Remplacez.

t_{1} = 0 + 0.05

$t_{1} = 0 + 0.05$

Étape 4.2

Additionnez

0

$0$ et

0.05

$0.05$ .

t_{1} = 0.05

$t_{1} = 0.05$

t_{1} = 0.05

$t_{1} = 0.05$

Étape 5

Déterminez

f (0.05, 1)

$f (0.05, 1)$ .

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Étape 5.1

Remplacez

t

$t$ par

0.05

$0.05$ et

y

$y$ par

1

$1$ .

f (0.05, 1) = sin (0.05)

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Étape 5.2

Évaluez

sin (0.05)

$\sin (0.05)$ .

f (0.05, 1) = 0.04997916

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

f (0.05, 1) = 0.04997916

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Étape 6

Utilisez la formule récursive

y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})

$y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ pour déterminer

y_{2}

$y_{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez.

y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez

0.05

$0.05$ par

0.04997916

$0.04997916$ .

y_{2} = 1 + 0.00249895

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Étape 6.2.2

Additionnez

1

$1$ et

0.00249895

$0.00249895$ .

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

y_{2} = 1.00249895

$y_{2} = 1.00249895$

Étape 7

Utilisez la formule récursive

t_{2} = t_{1} + h

$t_{2} = t_{1} + h$ pour déterminer

t_{2}

$t_{2}$ .

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Étape 7.1

Remplacez.

t_{2} = 0.05 + 0.05

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Étape 7.2

Additionnez

0.05

$0.05$ et

0.05

$0.05$ .

t_{2} = 0.1

$t_{2} = 0.1$

t_{2} = 0.1

$t_{2} = 0.1$

Étape 8

Continuez de la même manière jusqu’à ce que vous ayez approximé toutes les valeurs souhaitées.

Étape 9

Indiquez les approximations dans un tableau.

\begin{matrix} t_{n} & y_{n} 0 & 1 0.05 & 1 0.1 & 1.00249895 0.15 & 1.00749062 0.2 & 1.01496253 0.25 & 1.024896 0.3 & 1.0372662 0.35 & 1.05204221 0.4 & 1.0691871 0.45 & 1.08865801 0.5 & 1.11040629 \end{matrix}

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$

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