Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

Étape 1

Définissez $f (t, y)$ de sorte que $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

Étape 2

Déterminez $f (0, 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez $t$ par $0$ et $y$ par $1$ .

$f (0, 1) = e^{0}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Remplacez $e$ par une approximation.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

Étape 2.2.2

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0$ .

$f (0, 1) = 1$

Étape 3

Utilisez la formule récursive $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ pour déterminer $y_{1}$ .

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Étape 3.1

Remplacez.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $0.5$ par $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

Étape 4

Utilisez la formule récursive $t_{1} = t_{0} + h$ pour déterminer $t_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez.

$t_{1} = 0 + 0.5$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

Étape 5

Déterminez $f (0.5, 1.5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $t$ par $0.5$ et $y$ par $1.5$ .

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Remplacez $e$ par une approximation.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

Étape 5.2.2

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

Étape 6

Utilisez la formule récursive $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ pour déterminer $y_{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $0.5$ par $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

Étape 6.2.2

Additionnez $1.5$ et $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

Étape 7

Utilisez la formule récursive $t_{2} = t_{1} + h$ pour déterminer $t_{2}$ .

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Étape 7.1

Remplacez.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

Étape 7.2

Additionnez $0.5$ et $0.5$ .

$t_{2} = 1$

Étape 8

Continuez de la même manière jusqu’à ce que vous ayez approximé toutes les valeurs souhaitées.

Étape 9

Indiquez les approximations dans un tableau.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

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