Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la fonction sur

x = x + h

$x = x + h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

x + h

$x + h$ dans l’expression.

f (x + h) = 6 (x + h) + 2

$f (x + h) = 6 (x + h) + 2$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

f (x + h) = 6 x + 6 h + 2

$f (x + h) = 6 x + 6 h + 2$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$ .

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$

6 x + 6 h + 2

$6 x + 6 h + 2$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre

6 x

$6 x$ et

6 h

$6 h$ .

6 h + 6 x + 2

$6 h + 6 x + 2$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

f (x + h) = 6 h + 6 x + 2

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

f (x + h) = 6 h + 6 x + 2

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

f (x) = 6 x + 2

$f (x) = 6 x + 2$

Étape 3

Insérez les composants.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

6 x + 2

$6 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

6 x

$6 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez

2

$2$ à partir de

2

$2$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (3 x) + 2 (1)

$2 (3 x) + 2 (1)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3

Factorisez

2

$2$ à partir de

6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)

$6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

6 h

$6 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez

2

$2$ à partir de

6 x

$6 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez

2

$2$ à partir de

2

$2$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3.4

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 2 (3 x + 1)

$- 2 (3 x + 1)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (3 h) + 2 (3 x)

$2 (3 h) + 2 (3 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.3.6

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (3 h + 3 x) + 2 (1)

$2 (3 h + 3 x) + 2 (1)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.3.7

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))

$2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}$

Étape 4.1.5

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}$

Étape 4.1.6

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez

3 x

$3 x$ de

3 x

$3 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez

3 h

$3 h$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}$

Étape 4.1.9

Soustrayez

1

$1$ de

1

$1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 (3 h + 0)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0)}{h}$

Étape 4.1.10

Additionnez

3 h

$3 h$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{2 \cdot (3 h)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (3 h)}{h}$

Étape 4.1.11

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de

h

$h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Étape 4.2.2

Divisez

$6$ par

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6$

Étape 5

Évaluez la limite de

$6$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$6$

Étape 6

Saisissez VOTRE problème