Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x + 2$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 6 (x + h) + 2$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 6 x + 6 h + 2$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $6 x + 6 h + 2$ .

$6 x + 6 h + 2$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $6 h$ .

$6 h + 6 x + 2$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

$f (x) = 6 x + 2$

$f (x + h) = 6 h + 6 x + 2$

$f (x) = 6 x + 2$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (6 x + 2)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 2$ .

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Étape 4.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2)}{h}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x) + 2 (1))}{h}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - (2 (3 x + 1))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 1 \cdot (2 (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $6 h + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 6 x + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) - 2 (3 x + 1)}{h}$

Étape 4.1.3.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (3 x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h) + 2 (3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 h) + 2 (3 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x) + 2 (1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.3.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 h + 3 x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.3.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 h + 3 x + 1) + 2 (- (3 x + 1))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x + 1))}{h}$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - (3 x) - 1 \cdot 1)}{h}$

Étape 4.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1 \cdot 1)}{h}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 3 x + 1 - 3 x - 1)}{h}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0 + 1 - 1)}{h}$

Étape 4.1.8

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 1 - 1)}{h}$

Étape 4.1.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 (3 h + 0)}{h}$

Étape 4.1.10

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (3 h)}{h}$

Étape 4.1.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{h}$

Étape 4.2.2

Divisez $6$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6$

Étape 5

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$6$

Étape 6

Saisissez VOTRE problème