Calcul infinitésimal Exemples

y = x^{\sqrt{x}}

$y = x^{\sqrt{x}}$

Étape 1

Laissez

y = f (x)

$y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés

ln (y) = ln (f (x))

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

ln (y) = ln (x^{\sqrt{x}})

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ comme

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

ln (y) = ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Développez

ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})

$\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ hors du logarithme.

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

ln (y) = x^{\frac{1}{2}} ln (x)

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que

y

$y$ est une fonction de

x

$x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de

ln (y)

$\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez

$x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et

$g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.3

La dérivée de

$\ln (x)$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.1

Associez

$x^{\frac{1}{2}}$ et

$\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.4.2

Placez

$x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez

$x$ par

$x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez

$x$ par

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.5.1.1

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.5.1.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.5.2

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.5.4

Soustrayez

$1$ de

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.2.7

Pour écrire

$- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.2.8

Associez

$- 1$ et

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.10.1

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 3.2.10.2

Soustrayez

$2$ de

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 3.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 3.2.12

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.2.13

Associez

$\ln (x)$ et

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3.2.14

Placez

$x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Isolez

$y'$ et remplacez la fonction d’origine pour

$y$ du côté droit.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Étape 5.2

Associez

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Étape 5.3

Associez

$\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Factorisez

$x^{\frac{1}{2}}$ à partir de

$x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez par

$1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.4

Divisez

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ par

$1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.3

Factorisez

$x^{\frac{1}{2}}$ à partir de

$\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.4.1

Factorisez

$x^{\frac{1}{2}}$ à partir de

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 5.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 5.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.5.1

Pour écrire

$\sqrt{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.4.5.2

Associez

$\sqrt{x}$ et

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.4.5.4

Déplacez

$2$ à gauche de

$\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.5

Pour écrire

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.6

Associez

$x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ et

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{x}$ comme

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.2

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{x}$ comme

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.3

Déplacez

$2$ à gauche de

$x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.4.1

Pour écrire

$x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.4.2

Associez

$x^{\frac{1}{2}}$ et

$\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.4.4

Déplacez

$2$ à gauche de

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Étape 5.8.5

Factorisez

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ à partir de

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

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Étape 5.8.5.1

Remettez dans l’ordre

$\ln (x)$ et

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Étape 5.8.5.2

Factorisez

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ à partir de

$2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Étape 5.8.5.3

Factorisez

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ à partir de

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Étape 5.8.5.4

Factorisez

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ à partir de

$x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

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