Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\ln (x)}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Développez $\ln (x^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Étape 2.2

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Étape 2.3

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Étape 3.2.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.4.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Étape 3.2.4.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Associez $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ et $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{\ln (x)}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Étape 5.2.2.5

Divisez $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ par $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

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