Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + y^{4} = 4 + 2 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d y} (4 + 2 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2}$ et $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 4 y^{3}$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 3.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$0 + 2 x'$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $2 x'$ .

$2 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' = 2 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x'$ des deux côtés de l’équation.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $4 y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x y x' - 2 x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x y x'$ .

$2 x' (x y) - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $2 x'$ à partir de $- 2 x'$ .

$2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1$ .

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ par $2 (x y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ par $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x y - 1$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- 2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x y - 1) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x y - 1) \cdot 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{2 (x y - 1)} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{- 2 y^{3} \cdot 2 - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3} - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - (x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 y^{3}) - (x^{2})$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.9.1

Réécrivez $- (4 y^{3} + x^{2})$ comme $- 1 (4 y^{3} + x^{2})$ .

$x' = \frac{- 1 (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.4.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

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