Calcul infinitésimal Exemples

x^{2} + y^{2} = 25

$x^{2} + y^{2} = 25$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (25)

$\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (25)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{2} + y^{2}

$x^{2} + y^{2}$ par rapport à

y

$y$ est

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez

\frac{d}{d y} [x^{2}]

$\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

\frac{d}{d y} [f (g (y))]

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est

f' (g (y)) g' (y)

$f' (g (y)) g' (y)$ où

f (y) = y^{2}

$f (y) = y^{2}$ et

g (y) = x

$g (y) = x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

u

$u$ comme

x

$x$ .

\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

x

$x$ .

2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez

\frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [x]$ comme

x'

$x'$ .

2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]

$2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

2 x x' + 2 y

$2 x x' + 2 y$

2 x x' + 2 y

$2 x x' + 2 y$

Étape 3

Comme

25

$25$ est constant par rapport à

y

$y$ , la dérivée de

25

$25$ par rapport à

y

$y$ est

0

$0$ .

0

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

2 x x' + 2 y = 0

$2 x x' + 2 y = 0$

Étape 5

Résolvez

x'

$x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez

2 y

$2 y$ des deux côtés de l’équation.

2 x x' = - 2 y

$2 x x' = - 2 y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

2 x x' = - 2 y

$2 x x' = - 2 y$ par

2 x

$2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

2 x x' = - 2 y

$2 x x' = - 2 y$ par

2 x

$2 x$ .

\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 2 y}{2 x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez

$x'$ par

$1$ .

$x' = \frac{- 2 y}{2 x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à

$- 2$ et

$2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2 y$ .

$x' = \frac{2 (- y)}{2 x}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 x$ .

$x' = \frac{2 (- y)}{2 (x)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 (- y)}{2 x}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez

$x'$ par

$\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y}{x}$

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