Calcul infinitésimal Exemples

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Étape 2.2

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Étape 2.3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 2.3.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.6

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.9.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y$

Étape 2.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y$

Étape 2.12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$x' + 1 + 0$

Étape 3.5

Additionnez $x' + 1$ et $0$ .

$x' + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $x'$ des deux côtés de l’équation.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Étape 5.3

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x' - 2 y x' - x'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x'$ .

$x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 2 y x'$ .

$x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $x'$ à partir de $- x'$ .

$x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Étape 5.3.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 x) + x' (- 2 y)$ .

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Étape 5.3.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1$ .

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ par $2 x - 2 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ par $2 x - 2 y - 1$ .

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2 x - 2 y - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{1 + 2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Étape 5.4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

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