Calcul infinitésimal Exemples

y = ∣ ∣ x^{2} - x ∣ ∣

$y = | x^{2} - x |$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (∣ ∣ x^{2} - x ∣ ∣)

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Étape 2

La dérivée de

y

$y$ par rapport à

x

$x$ est

$y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est

$f' (g (x)) g' (x)$ où

$f (x) = | x |$ et

$g (x) = x^{2} - x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez

$u$ comme

$x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 3.1.2

La dérivée de

$| u |$ par rapport à

$u$ est

$\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{2} - x$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.2.3

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- x$ par rapport à

$x$ est

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Étape 3.2.5.2

Réorganisez les facteurs de

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Étape 5

Remplacez

$y'$ par

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Étape 6

Définissez

$\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour

$x$ dans les termes de

$y$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Étape 6.2

Définissez

$2 x - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez

$2 x - 1$ égal à

$0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Résolvez

$2 x - 1 = 0$ pour

$x$ .

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Étape 6.2.2.1

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 6.2.2.2

Divisez chaque terme dans

$2 x = 1$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$2 x = 1$ par

$2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.2.1.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Définissez

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ égal à

$0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ pour

$x$ .

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Étape 6.3.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - x = 0$

Étape 6.3.2.2

Résolvez l’équation pour

$x$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2} - x$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Factorisez

$x$ à partir de

$x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Étape 6.3.2.2.1.2

Factorisez

$x$ à partir de

$- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Étape 6.3.2.2.1.3

Factorisez

$x$ à partir de

$x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Étape 6.3.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2.2.3

Définissez

$x$ égal à

$0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.2.2.4

Définissez

$x - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 6.3.2.2.4.1

Définissez

$x - 1$ égal à

$0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2.2.4.2

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.3.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Étape 6.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas

$(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ vrai.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 7

Simplifiez

$| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{2}$ .

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Étape 7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Étape 7.1.3

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Étape 7.2

Pour écrire

$- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Étape 7.3.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Étape 7.5

Soustrayez

$2$ de

$1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Étape 7.7

$- \frac{1}{4}$ est d’environ

$- 0.25$ qui est négatif, alors inversez

$- \frac{1}{4}$ et retirez la valeur absolue

$y = \frac{1}{4}$

Étape 8

Déterminez les points où

$\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème