Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + 5 x - 7$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x - 7)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 5 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$2 x + 5$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x + 5$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

Étape 6

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 7

Simplifiez ${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$ .

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.6

Multipliez $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 7.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Étape 7.1.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

Étape 7.1.6.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

Étape 7.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

Étape 7.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Étape 7.2.3

Écrivez $- 7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Étape 7.2.4

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.5

Multipliez $\frac{- 7}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$y = \frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$y = \frac{25 - 50 - 28}{4}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$y = \frac{- 25 - 28}{4}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $28$ de $- 25$ .

$y = \frac{- 53}{4}$

Étape 7.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{53}{4}$

Étape 8

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

Étape 9

Saisissez VOTRE problème