Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{3} - 2 x)}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 2 x$ .

$2 (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) (3 x^{2} - 2)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{3} + 2 (- 2 x)) (3 x^{2} - 2)$

Étape 3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$

Étape 3.3

Développez $(2 x^{3} - 4 x) (3 x^{2} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} (3 x^{2} - 2) - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2} - 2)$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} (3 x^{2}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 3 x^{3} x^{2} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot 3 (x^{2} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 3 x^{2 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$2 \cdot 3 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x^{5} + 2 x^{3} \cdot - 2 - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 x (3 x^{2}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.6

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2 + 1} - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.7

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} - 4 x \cdot - 2$

Étape 3.4.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$6 x^{5} - 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x$

Étape 3.4.2

Soustrayez $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 16 x^{3} + 8 x$

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