Calcul infinitésimal Exemples

\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}

$\frac{x^{3} - 8 x}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où

f (x) = x^{3} - 8 x

$f (x) = x^{3} - 8 x$ et

g (x) = x - 1

$g (x) = x - 1$ .

\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x] - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{3} - 8 x

$x^{3} - 8 x$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez

\frac{d}{d x} [- 8 x]

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 3.1

Comme

- 8

$- 8$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 8 x

$- 8 x$ par rapport à

x

$x$ est

- 8 \frac{d}{d x} [x]

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8 \cdot 1) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez

- 8

$- 8$ par

1

$1$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x - 1

$x - 1$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 1

$- 1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - (x^{3} - 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) + (- x^{3} - (- 8 x)) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{(x - 1) (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Développez

(x - 1) (3 x^{2} - 8)

$(x - 1) (3 x^{2} - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2} - 8) - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2} - 8) - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez

x

$x$ par

x^{2}

$x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Déplacez

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2.2

Multipliez

x^{2}

$x^{2}$ par

x

$x$ .

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Étape 5.3.1.2.2.2.1

Élevez

x

$x$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2.3

Additionnez

2

$2$ et

1

$1$ .

\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} + x \cdot - 8 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.3

Déplacez

- 8

$- 8$ à gauche de

x

$x$ .

\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 \cdot x - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.4

Multipliez

3

$3$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 1 \cdot - 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.5

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 8

$- 8$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} \cdot 1 - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} - (- 8 x) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez

- 8

$- 8$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Multipliez

8

$8$ par

1

$1$ .

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Associez les termes opposés dans

3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x

$3 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 8 x$ .

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Étape 5.3.2.1

Additionnez

- 8 x

$- 8 x$ et

8 x

$8 x$ .

\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3} + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez

3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}$ et

0

$0$ .

\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} + 8 - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Soustrayez

x^{3}

$x^{3}$ de

3 x^{3}

$3 x^{3}$ .

\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 8}{{(x - 1)}^{2}}$

Saisissez VOTRE problème