Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 8}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où

$f (x) = x$ et

$g (x) = x^{2} - 8$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez

$x^{2} - 8$ par

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$x^{2} - 8$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme

$- 8$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 8$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez

$2 x$ et

$0$ .

$\frac{x^{2} - 8 - x (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 3

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 4

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{x^{2} - 8 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 7

Soustrayez

$2 x^{2}$ de

$x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.2

Réécrivez

$- 8$ comme

$- 1 (8)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.3

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (x^{2}) - 1 (8)$ .

$\frac{- (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.4

Réécrivez

$- (x^{2} + 8)$ comme

$- 1 (x^{2} + 8)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

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