Calcul infinitésimal Exemples

L (x) = x^{2}

$L (x) = x^{2}$

Étape 1

Utilisez la formule de l’indice de Gini

G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x

$G = 2 \int_{0}^{1} x - L (x) d x$ .

Étape 2

Remplacez

L (x)

$L (x)$ par

x^{2}

$x^{2}$ .

G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x

$G = 2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Étape 3

Évaluez

2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x

$2 \int_{0}^{1} x - x^{2} d x$ .

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Étape 3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

x

$x$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 3.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

x^{2}

$x^{2}$ .

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 3.4

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

x^{2}

$x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ et

x^{3}

$x^{3}$ .

G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez

\frac{x^{2}}{2}

$\frac{x^{2}}{2}$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))

$G = 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Étape 3.6.2.2

Évaluez

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.2

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.3

Annulez le facteur commun à

0

$0$ et

2

$2$ .

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Étape 3.6.2.3.3.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

0

$0$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.3.3.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2

$2$ .

G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.3.2.4

Divisez

$0$ par

$1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.4

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.5

Additionnez

$\frac{1}{2}$ et

$0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 3.6.2.3.7

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 3.6.2.3.8

Annulez le facteur commun à

$0$ et

$3$ .

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Étape 3.6.2.3.8.1

Factorisez

$3$ à partir de

$0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 3.6.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.3.8.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 3.6.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 3.6.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 3.6.2.3.8.2.4

Divisez

$0$ par

$1$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0))$

Étape 3.6.2.3.9

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0))$

Étape 3.6.2.3.10

Additionnez

$\frac{1}{3}$ et

$0$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

Étape 3.6.2.3.11

Pour écrire

$\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{3}{3}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 3.6.2.3.12

Pour écrire

$- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.6.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 3.6.2.3.13.1

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$\frac{3}{3}$ .

$G = 2 (\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.6.2.3.13.2

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.6.2.3.13.3

Multipliez

$\frac{1}{3}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2})$

Étape 3.6.2.3.13.4

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$G = 2 (\frac{3}{6} - \frac{2}{6})$

Étape 3.6.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$G = 2 \frac{3 - 2}{6}$

Étape 3.6.2.3.15

Soustrayez

$2$ de

$3$ .

$G = 2 (\frac{1}{6})$

Étape 3.6.2.3.16

Associez

$2$ et

$\frac{1}{6}$ .

$G = \frac{2}{6}$

Étape 3.6.2.3.17

Annulez le facteur commun à

$2$ et

$6$ .

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Étape 3.6.2.3.17.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$G = \frac{2 (1)}{6}$

Étape 3.6.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.3.17.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$6$ .

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$G = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$G = \frac{1}{3}$

Étape 4

Convertissez en décimale.

$G = 0.\overline{3}$

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