Calcul infinitésimal Exemples

$d (q) = 300 - 5 q$ , $s (q) = q^{2}$

Étape 1

Déterminez le point d’équilibre.

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Étape 1.1

Déterminez la quantité d’équilibre.

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Étape 1.1.1

Déterminez le point d’équilibre en définissant la fonction d’offre égale à la fonction de demande.

$300 - 5 q = q^{2}$

Étape 1.1.2

Résolvez $300 - 5 q = q^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $q^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $300 - 5 q - q^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.2.1.1.1

Déplacez $300$ .

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 5 q$ et $- q^{2}$ .

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- q^{2}$ .

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 q$ .

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.4

Réécrivez $300$ comme $- 1 (- 300)$ .

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (q^{2}) - (5 q)$ .

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ .

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

Étape 1.1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.1.2.2.2.1

Factorisez $q^{2} + 5 q - 300$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 300$ et dont la somme est $5$ .

$- 15, 20$

Étape 1.1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

Étape 1.1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

Étape 1.1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$q - 15 = 0$

$q + 20 = 0$

Étape 1.1.2.4

Définissez $q - 15$ égal à $0$ et résolvez $q$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Définissez $q - 15$ égal à $0$ .

$q - 15 = 0$

Étape 1.1.2.4.2

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$q = 15$

Étape 1.1.2.5

Définissez $q + 20$ égal à $0$ et résolvez $q$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Définissez $q + 20$ égal à $0$ .

$q + 20 = 0$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$q = - 20$

Étape 1.1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (q - 15) (q + 20) = 0$ vraie.

$q = 15, - 20$

Étape 1.1.3

Ignorez la solution négative.

$q = 15$

Étape 1.2

Déterminez le prix d’équilibre.

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Étape 1.2.1

Déterminez le prix d’équilibre en remplaçant $q$ par la quantité d’équilibre $15$ dans $d (q) = 300 - 5 q$ .

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

Étape 1.2.2

Simplifiez $d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $- 5$ par $15$ .

$d \cdot 15 = 300 - 75$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $75$ de $300$ .

$d \cdot 15 = 225$

Étape 1.3

Écrivez le point d’équilibre.

$(15, 225)$

Étape 2

Configurez l’excédent du consommateur $\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ où $q_{eq}$ est la quantité d’équilibre et $p_{eq}$ est le prix d’équilibre.

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

Étape 3

Évaluez l’intégrale et simplifiez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 15$ par $225$ .

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

Étape 3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Étape 3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $q$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $q$ par rapport à $q$ est $\frac{1}{2} q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez $300 q$ sur $15$ et sur $0$ .

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Étape 3.6.2.2

Évaluez $\frac{q^{2}}{2}$ sur $15$ et sur $0$ .

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Multipliez $300$ par $15$ .

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.2

Multipliez $- 300$ par $0$ .

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.3

Additionnez $4500$ et $0$ .

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.4

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.6.2.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

Étape 3.6.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

Étape 3.6.2.3.8

Additionnez $\frac{225}{2}$ et $0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.9

Associez $- 5$ et $\frac{225}{2}$ .

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.10

Multipliez $- 5$ par $225$ .

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.12

Pour écrire $4500$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.13

Associez $4500$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.15.1

Multipliez $4500$ par $2$ .

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.15.2

Soustrayez $1125$ de $9000$ .

$\frac{7875}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.16

Pour écrire $- 3375$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.6.2.3.17

Associez $- 3375$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

Étape 3.6.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

Étape 3.6.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.19.1

Multipliez $- 3375$ par $2$ .

$\frac{7875 - 6750}{2}$

Étape 3.6.2.3.19.2

Soustrayez $6750$ de $7875$ .

$\frac{1125}{2}$

Étape 3.7

Divisez $1125$ par $2$ .

$562.5$

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