Calcul infinitésimal Exemples

d (q) = 300 - 5 q

$d (q) = 300 - 5 q$ ,

s (q) = q^{2}

$s (q) = q^{2}$

Étape 1

Déterminez le point d’équilibre.

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Étape 1.1

Déterminez la quantité d’équilibre.

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Étape 1.1.1

Déterminez le point d’équilibre en définissant la fonction d’offre égale à la fonction de demande.

300 - 5 q = q^{2}

$300 - 5 q = q^{2}$

Étape 1.1.2

Résolvez

300 - 5 q = q^{2}

$300 - 5 q = q^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez

q^{2}

$q^{2}$ des deux côtés de l’équation.

300 - 5 q - q^{2} = 0

$300 - 5 q - q^{2} = 0$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

300 - 5 q - q^{2}

$300 - 5 q - q^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 1.1.2.2.1.1.1

Déplacez

300

$300$ .

- 5 q - q^{2} + 300 = 0

$- 5 q - q^{2} + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre

- 5 q

$- 5 q$ et

- q^{2}

$- q^{2}$ .

- q^{2} - 5 q + 300 = 0

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

- q^{2} - 5 q + 300 = 0

$- q^{2} - 5 q + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.2

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- q^{2}

$- q^{2}$ .

- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0

$- (q^{2}) - 5 q + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.3

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 5 q

$- 5 q$ .

- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0

$- (q^{2}) - (5 q) + 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.4

Réécrivez

300

$300$ comme

- 1 (- 300)

$- 1 (- 300)$ .

- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0

$- (q^{2}) - (5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.5

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- (q^{2}) - (5 q)

$- (q^{2}) - (5 q)$ .

- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0

$- (q^{2} + 5 q) - 1 \cdot - 300 = 0$

Étape 1.1.2.2.1.6

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)

$- (q^{2} + 5 q) - 1 (- 300)$ .

- (q^{2} + 5 q - 300) = 0

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

- (q^{2} + 5 q - 300) = 0

$- (q^{2} + 5 q - 300) = 0$

Étape 1.1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.1.2.2.2.1

Factorisez

q^{2} + 5 q - 300

$q^{2} + 5 q - 300$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

- 300

$- 300$ et dont la somme est

5

$5$ .

- 15, 20

$- 15, 20$

Étape 1.1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

- ((q - 15) (q + 20)) = 0

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

- ((q - 15) (q + 20)) = 0

$- ((q - 15) (q + 20)) = 0$

Étape 1.1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

- (q - 15) (q + 20) = 0

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

- (q - 15) (q + 20) = 0

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

- (q - 15) (q + 20) = 0

$- (q - 15) (q + 20) = 0$

Étape 1.1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

q - 15 = 0

$q - 15 = 0$

q + 20 = 0

$q + 20 = 0$

Étape 1.1.2.4

Définissez

q - 15

$q - 15$ égal à

0

$0$ et résolvez

q

$q$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Définissez

q - 15

$q - 15$ égal à

0

$0$ .

q - 15 = 0

$q - 15 = 0$

Étape 1.1.2.4.2

Ajoutez

15

$15$ aux deux côtés de l’équation.

q = 15

$q = 15$

q = 15

$q = 15$

Étape 1.1.2.5

Définissez

q + 20

$q + 20$ égal à

0

$0$ et résolvez

q

$q$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Définissez

q + 20

$q + 20$ égal à

0

$0$ .

q + 20 = 0

$q + 20 = 0$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez

20

$20$ des deux côtés de l’équation.

q = - 20

$q = - 20$

q = - 20

$q = - 20$

Étape 1.1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

- (q - 15) (q + 20) = 0

$- (q - 15) (q + 20) = 0$ vraie.

q = 15, - 20

$q = 15, - 20$

q = 15, - 20

$q = 15, - 20$

Étape 1.1.3

Ignorez la solution négative.

q = 15

$q = 15$

q = 15

$q = 15$

Étape 1.2

Déterminez le prix d’équilibre.

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Étape 1.2.1

Déterminez le prix d’équilibre en remplaçant

q

$q$ par la quantité d’équilibre

15

$15$ dans

d (q) = 300 - 5 q

$d (q) = 300 - 5 q$ .

d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$

Étape 1.2.2

Simplifiez

d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15

$d \cdot 15 = 300 - 5 \cdot 15$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez

- 5

$- 5$ par

15

$15$ .

d \cdot 15 = 300 - 75

$d \cdot 15 = 300 - 75$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez

75

$75$ de

300

$300$ .

d \cdot 15 = 225

$d \cdot 15 = 225$

d \cdot 15 = 225

$d \cdot 15 = 225$

d \cdot 15 = 225

$d \cdot 15 = 225$

Étape 1.3

Écrivez le point d’équilibre.

(15, 225)

$(15, 225)$

(15, 225)

$(15, 225)$

Étape 2

Configurez l’excédent du consommateur

\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}

$\int_{0}^{q_{eq}} d (q) d q - q_{eq} p_{eq}$ où

q_{eq}

$q_{eq}$ est la quantité d’équilibre et

p_{eq}

$p_{eq}$ est le prix d’équilibre.

\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 15 \cdot 225$

Étape 3

Évaluez l’intégrale et simplifiez.

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Étape 3.1

Multipliez

- 15

$- 15$ par

225

$225$ .

\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375

$\int_{0}^{15} 300 - 5 q d q - 3375$

Étape 3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375

$\int_{0}^{15} 300 d q + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Étape 3.3

Appliquez la règle de la constante.

300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375

$300 q]_{0}^{15} + \int_{0}^{15} - 5 q d q - 3375$

Étape 3.4

Comme

- 5

$- 5$ est constant par rapport à

q

$q$ , placez

- 5

$- 5$ en dehors de l’intégrale.

300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375

$300 q]_{0}^{15} - 5 \int_{0}^{15} q d q - 3375$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

q

$q$ par rapport à

q

$q$ est

\frac{1}{2} q^{2}

$\frac{1}{2} q^{2}$ .

300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{1}{2} q^{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Étape 3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.6.1

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

q^{2}

$q^{2}$ .

$300 q]_{0}^{15} - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Étape 3.6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez

$300 q$ sur

$15$ et sur

$0$ .

$(300 \cdot 15) - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{q^{2}}{2}]_{0}^{15}) - 3375$

Étape 3.6.2.2

Évaluez

$\frac{q^{2}}{2}$ sur

$15$ et sur

$0$ .

$300 \cdot 15 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Multipliez

$300$ par

$15$ .

$4500 - 300 \cdot 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.2

Multipliez

$- 300$ par

$0$ .

$4500 + 0 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.3

Additionnez

$4500$ et

$0$ .

$4500 - 5 (\frac{15^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.4

Élevez

$15$ à la puissance

$2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.5

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6

Annulez le facteur commun à

$0$ et

$2$ .

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Étape 3.6.2.3.6.1

Factorisez

$2$ à partir de

$0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.2.3.6.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - \frac{0}{1}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.6.2.4

Divisez

$0$ par

$1$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} - 0) - 3375$

Étape 3.6.2.3.7

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2} + 0) - 3375$

Étape 3.6.2.3.8

Additionnez

$\frac{225}{2}$ et

$0$ .

$4500 - 5 (\frac{225}{2}) - 3375$

Étape 3.6.2.3.9

Associez

$- 5$ et

$\frac{225}{2}$ .

$4500 + \frac{- 5 \cdot 225}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.10

Multipliez

$- 5$ par

$225$ .

$4500 + \frac{- 1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$4500 - \frac{1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.12

Pour écrire

$4500$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$4500 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.13

Associez

$4500$ et

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{4500 \cdot 2}{2} - \frac{1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4500 \cdot 2 - 1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.15.1

Multipliez

$4500$ par

$2$ .

$\frac{9000 - 1125}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.15.2

Soustrayez

$1125$ de

$9000$ .

$\frac{7875}{2} - 3375$

Étape 3.6.2.3.16

Pour écrire

$- 3375$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} - 3375 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.6.2.3.17

Associez

$- 3375$ et

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{7875}{2} + \frac{- 3375 \cdot 2}{2}$

Étape 3.6.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7875 - 3375 \cdot 2}{2}$

Étape 3.6.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.19.1

Multipliez

$- 3375$ par

$2$ .

$\frac{7875 - 6750}{2}$

Étape 3.6.2.3.19.2

Soustrayez

$6750$ de

$7875$ .

$\frac{1125}{2}$

Étape 3.7

Divisez

$1125$ par

$2$ .

$562.5$

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