Calcul infinitésimal Exemples

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

y = x

$y = x$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de

f (x)

$f (x)$ et

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ .

V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où

f (x) = x

$f (x) = x$ et

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

x^{2}

$x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Étape 5

Associez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ et

x^{3}

$x^{3}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Étape 6

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , placez

- 1

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

x^{4}

$x^{4}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ et

x^{5}

$x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Évaluez

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Étape 8.2.2

Évaluez

\frac{x^{5}}{5}

$\frac{x^{5}}{5}$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.2

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3

Annulez le facteur commun à

0

$0$ et

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.3.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.3.2.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

3

$3$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.3.2.4

Divisez

0

$0$ par

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.5

Additionnez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ et

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 8.2.3.7

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Étape 8.2.3.8

Annulez le facteur commun à

0

$0$ et

5

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.8.1

Factorisez

5

$5$ à partir de

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Étape 8.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.8.2.1

Factorisez

5

$5$ à partir de

5

$5$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Étape 8.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Étape 8.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Étape 8.2.3.8.2.4

Divisez

0

$0$ par

1

$1$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Étape 8.2.3.9

Multipliez

- 1

$- 1$ par

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Étape 8.2.3.10

Additionnez

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ et

0

$0$ .

V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Étape 8.2.3.11

Pour écrire

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Étape 8.2.3.12

Pour écrire

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

15

$15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.13.1

Multipliez

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ par

\frac{5}{5}

$\frac{5}{5}$ .

V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.13.2

Multipliez

3

$3$ par

5

$5$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 8.2.3.13.3

Multipliez

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Étape 8.2.3.13.4

Multipliez

5

$5$ par

3

$3$ .

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Étape 8.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

V = π (\frac{5 - 3}{15})

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Étape 8.2.3.15

Soustrayez

3

$3$ de

5

$5$ .

V = π (\frac{2}{15})

$V = π (\frac{2}{15})$

Étape 8.2.3.16

Associez

π

$π$ et

\frac{2}{15}

$\frac{2}{15}$ .

V = \frac{π \cdot 2}{15}

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Étape 8.2.3.17

Déplacez

2

$2$ à gauche de

π

$π$ .

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

V = \frac{2 π}{15}

$V = \frac{2 π}{15}$

Forme décimale :

V = 0.41887902 \dots

$V = 0.41887902 \dots$

Étape 10

Saisissez VOTRE problème