Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Étape 1

La moyenne quadratique d’une fonction $f$ sur un intervalle spécifié $[a, b]$ dans la racine carrée de la moyenne arithmétique (moyenne) des carrés des valeurs d’origine.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Étape 2

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la moyenne quadratique d’une fonction.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Étape 3

Évaluez l’intégrale.

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Étape 3.1

Laissez $u = 4 x - 2$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1.1

Laissez $u = 4 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Différenciez $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Étape 3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 3.1.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 3.1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Étape 3.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Étape 3.1.3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 3.1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 10$

Étape 3.1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Étape 3.1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Étape 3.2

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Étape 3.5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $10$ et sur $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 3.5.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 3.5.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Étape 3.5.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Étape 3.5.2.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Étape 3.5.2.5

Associez $- 8$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Étape 3.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Étape 3.5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Étape 3.5.2.8

Soustrayez $8$ de $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Étape 3.5.2.9

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.10

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{992}{12}$

Étape 3.5.2.11

Annulez le facteur commun à $992$ et $12$ .

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Étape 3.5.2.11.1

Factorisez $4$ à partir de $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

Étape 3.5.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.11.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Étape 3.5.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{248}{3}$

Étape 4

Simplifiez la formule de la moyenne quadratique.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{3 - 1}$ par $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3

Réduisez l’expression $\frac{248}{2 \cdot 3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{124}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Réécrivez $124$ comme $2^{2} \cdot 31$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.5.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Étape 4.8.2

Multipliez $3$ par $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Forme décimale :

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Étape 6

Saisissez VOTRE problème