Calcul infinitésimal Exemples

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

[2, 5]

$[2, 5]$

Étape 1

La moyenne quadratique d’une fonction

f

$f$ sur un intervalle spécifié

[a, b]

$[a, b]$ dans la racine carrée de la moyenne arithmétique (moyenne) des carrés des valeurs d’origine.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Étape 2

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la moyenne quadratique d’une fonction.

f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{5 - 2} \cdot (\int_{2}^{5} {(x^{2})}^{2} d x)}$

Étape 3

Évaluez l’intégrale.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x

$\int_{2}^{5} x^{2 \cdot 2} d x$

Étape 3.1.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\int_{2}^{5} x^{4} d x

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

\int_{2}^{5} x^{4} d x

$\int_{2}^{5} x^{4} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

x^{4}

$x^{4}$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}]_{2}^{5}$

Étape 3.3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Évaluez

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ sur

5

$5$ et sur

2

$2$ .

(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$(\frac{1}{5} \cdot 5^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Élevez

5

$5$ à la puissance

5

$5$ .

\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{1}{5} \cdot 3125 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.2

Associez

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ et

3125

$3125$ .

\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{3125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun à

3125

$3125$ et

5

$5$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Factorisez

5

$5$ à partir de

3125

$3125$ .

\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{5 \cdot 625}{5} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.3.2.1

Factorisez

5

$5$ à partir de

5

$5$ .

\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}

$\frac{5 \cdot 625}{5 (1)} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 625}{5 \cdot 1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{625}{1} - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.3.2.4

Divisez

$625$ par

$1$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 2^{5}$

Étape 3.3.2.4

Élevez

$2$ à la puissance

$5$ .

$625 - \frac{1}{5} \cdot 32$

Étape 3.3.2.5

Multipliez

$32$ par

$- 1$ .

$625 - 32 (\frac{1}{5})$

Étape 3.3.2.6

Associez

$- 32$ et

$\frac{1}{5}$ .

$625 + \frac{- 32}{5}$

Étape 3.3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$625 - \frac{32}{5}$

Étape 3.3.2.8

Pour écrire

$625$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{5}{5}$ .

$625 \cdot \frac{5}{5} - \frac{32}{5}$

Étape 3.3.2.9

Associez

$625$ et

$\frac{5}{5}$ .

$\frac{625 \cdot 5}{5} - \frac{32}{5}$

Étape 3.3.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{625 \cdot 5 - 32}{5}$

Étape 3.3.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.11.1

Multipliez

$625$ par

$5$ .

$\frac{3125 - 32}{5}$

Étape 3.3.2.11.2

Soustrayez

$32$ de

$3125$ .

$\frac{3093}{5}$

Étape 4

Simplifiez la formule de la moyenne quadratique.

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Étape 4.1

Multipliez

$\frac{1}{5 - 2}$ par

$\frac{3093}{5}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{(5 - 2) \cdot 5}}$

Étape 4.2

Soustrayez

$2$ de

$5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3093}{3 \cdot 5}}$

Étape 4.3

Réduisez l’expression

$\frac{3093}{3 \cdot 5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3093$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Étape 4.3.2

Factorisez

$3$ à partir de

$3 \cdot 5$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 (5)}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{3 \cdot 1031}{3 \cdot 5}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1031}{5}}$

Étape 4.4

Réécrivez

$\sqrt{\frac{1031}{5}}$ comme

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5

Multipliez

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ par

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{1031}}{\sqrt{5}}$ par

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.6.2

Élevez

$\sqrt{5}$ à la puissance

$1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.6.3

Élevez

$\sqrt{5}$ à la puissance

$1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{1031 \cdot 5}}{5}$

Étape 4.7.2

Multipliez

$1031$ par

$5$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5155}}{5}$

Forme décimale :

$f_{rms} = 14.35966573 \dots$

Étape 6

Saisissez VOTRE problème