Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

Étape 1

La moyenne quadratique d’une fonction $f$ sur un intervalle spécifié $[a, b]$ dans la racine carrée de la moyenne arithmétique (moyenne) des carrés des valeurs d’origine.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Étape 2

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la moyenne quadratique d’une fonction.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

Étape 3

Évaluez l’intégrale.

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Étape 3.1

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 3.1.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Étape 3.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Étape 3.1.5

Soustrayez $2$ de $7$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 3.1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Étape 3.1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

Étape 3.3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $5$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + 0$

Étape 3.3.2.6

Additionnez $\frac{125}{3}$ et $0$ .

$\frac{125}{3}$

Étape 4

Simplifiez la formule de la moyenne quadratique.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{7 - 2}$ par $\frac{125}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

Étape 4.3

Réduisez l’expression $\frac{125}{5 \cdot 3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.1

Factorisez $5$ à partir de $125$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

Étape 4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

Étape 6

Saisissez VOTRE problème