Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = 5 x - 3

$f (x) = 5 x - 3$ ,

[0, 6]

$[0, 6]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur

$[0, 6]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction

$f$ sur l’intervalle

$[a, b]$ est définie comme

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 5 x - 3 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} 5 x d x + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

Étape 6

Comme

$5$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$5$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

Étape 8

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - 3 d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6}) + - 3 x]_{0}^{6})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez

$\frac{x^{2}}{2}$ sur

$6$ et sur

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{6})$

Étape 10.2

Évaluez

$- 3 x$ sur

$6$ et sur

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Élevez

$6$ à la puissance

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à

$36$ et

$2$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2.4

Divisez

$18$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.3

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.4

Annulez le facteur commun à

$0$ et

$2$ .

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Étape 10.3.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.4.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2.4

Divisez

$0$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 - 0) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.5

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 (18 + 0) - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.6

Additionnez

$18$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (5 \cdot 18 - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.7

Multipliez

$5$ par

$18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.8

Multipliez

$- 3$ par

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 18 + 3 \cdot 0)$

Étape 10.3.9

Multipliez

$3$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 18 + 0)$

Étape 10.3.10

Additionnez

$- 18$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (90 - 18)$

Étape 10.3.11

Soustrayez

$18$ de

$90$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (72)$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot 72$

Étape 11.2

Additionnez

$6$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 72$

Étape 12

Annulez le facteur commun de

$6$ .

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Étape 12.1

Factorisez

$6$ à partir de

$72$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (12))$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 12)$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 12$

Étape 13

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