Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x - 6$ , $(0, 4)$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x - 6 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 3 x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 6 d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + - 6 x]_{0}^{4})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 6 x]_{0}^{4})$

Étape 10.2

Évaluez $- 6 x$ sur $4$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - \frac{0}{1}) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 - 0) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 (8 + 0) - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.6

Additionnez $8$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (3 \cdot 8 - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.7

Multipliez $3$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 6 \cdot 4 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.8

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24 + 6 \cdot 0)$

Étape 10.3.9

Multipliez $6$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24 + 0)$

Étape 10.3.10

Additionnez $- 24$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (24 - 24)$

Étape 10.3.11

Soustrayez $24$ de $24$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

Étape 11.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 12

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$A (x) = 0$

Étape 13

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