Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

Étape 1

Écrivez $y = 3 x^{3} + x + 3$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[5, 7]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ et $3 x]_{5}^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $7$ et sur $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ sur $7$ et sur $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3

Simplifiez

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Étape 12.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.4

Soustrayez $625$ de $2401$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.5

Annulez le facteur commun à $1776$ et $4$ .

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Étape 12.2.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $1776$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.5.2.4

Divisez $444$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.6

Multipliez $3$ par $444$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.7

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.9

Multipliez $3$ par $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.10

Pour écrire $21$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.11

Associez $21$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.3.13.1

Multipliez $21$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.13.2

Additionnez $49$ et $42$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.14

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

Étape 12.2.3.16

Multipliez $3$ par $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

Étape 12.2.3.17

Pour écrire $15$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 12.2.3.18

Associez $15$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

Étape 12.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

Étape 12.2.3.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.3.20.1

Multipliez $15$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

Étape 12.2.3.20.2

Additionnez $25$ et $30$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

Étape 12.2.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

Étape 12.2.3.22

Soustrayez $55$ de $91$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

Étape 12.2.3.23

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 12.2.3.23.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

Étape 12.2.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Étape 12.2.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Étape 12.2.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

Étape 12.2.3.23.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

Étape 12.2.3.24

Additionnez $1332$ et $18$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

Étape 13

Soustrayez $5$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $1350$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 675$

Étape 15

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