Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Étape 1

Écrivez $y = 4 x - 2$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x - 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur $[1, 3]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x - 2 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} 4 x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 2 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 2 x]_{1}^{3})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + - 2 x]_{1}^{3})$

Étape 11.2

Évaluez $- 2 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.5

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 11.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{4}{1}) - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.5.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \cdot 4 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.7

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2 \cdot 1)$

Étape 11.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 6 + 2)$

Étape 11.3.9

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (16 - 4)$

Étape 11.3.10

Soustrayez $4$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (12)$

Étape 12

Soustrayez $1$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 12$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (6))$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6)$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 6$

Étape 14

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