Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} + 3 x$ ,

$(- 5, 1)$

Étape 1

Écrivez

$y = 3 x^{2} + 3 x$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f (x)$ est continu sur

$[- 5, 1]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction

$f$ sur l’intervalle

$[a, b]$ est définie comme

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Étape 7

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Étape 9

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

Étape 10

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez

$\frac{x^{3}}{3}$ sur

$1$ et sur

$- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

Étape 12.2.2

Évaluez

$\frac{x^{2}}{2}$ sur

$1$ et sur

$- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3

Simplifiez

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Étape 12.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.2

Élevez

$- 5$ à la puissance

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.5

Multipliez

$\frac{125}{3}$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.7

Additionnez

$1$ et

$125$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.8

Annulez le facteur commun à

$126$ et

$3$ .

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Étape 12.2.3.8.1

Factorisez

$3$ à partir de

$126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.8.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.8.2.4

Divisez

$42$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.9

Multipliez

$3$ par

$42$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 12.2.3.11

Élevez

$- 5$ à la puissance

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

Étape 12.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

Étape 12.2.3.13

Soustrayez

$25$ de

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

Étape 12.2.3.14

Annulez le facteur commun à

$- 24$ et

$2$ .

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Étape 12.2.3.14.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

Étape 12.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.14.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

Étape 12.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

Étape 12.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

Étape 12.2.3.14.2.4

Divisez

$- 12$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

Étape 12.2.3.15

Multipliez

$3$ par

$- 12$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

Étape 12.2.3.16

Soustrayez

$36$ de

$126$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

Étape 13

Additionnez

$1$ et

$5$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

Étape 14

Annulez le facteur commun de

$6$ .

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Étape 14.1

Factorisez

$6$ à partir de

$90$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 15$

Étape 15

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