Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ ,

[0, 2]

$[0, 2]$

Étape 1

Déterminez la dérivée de

f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{3} - x^{2} + 2 x - 1

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- x^{2}

$- x^{2}$ par rapport à

x

$x$ est

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Évaluez

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme

2

$2$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

2 x

$2 x$ par rapport à

x

$x$ est

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme

- 1

$- 1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 1

$- 1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

3 x^{2} - 2 x + 2 + 0

$3 x^{2} - 2 x + 2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez

3 x^{2} - 2 x + 2

$3 x^{2} - 2 x + 2$ et

0

$0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$3 x^{2} - 2 x + 2$ .

$3 x^{2} - 2 x + 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

$f' (x)$ est continu sur

$[0, 2]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 4

La valeur moyenne de la fonction

$f'$ sur l’intervalle

$[a, b]$ est définie comme

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 2 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 7

Comme

$3$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x^{2}$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 9

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 10

Comme

$- 2$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$- 2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$x$ par rapport à

$x$ est

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 12

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez

$\frac{x^{3}}{3}$ sur

$2$ et sur

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Étape 14.2

Évaluez

$\frac{x^{2}}{2}$ sur

$2$ et sur

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

Étape 14.3

Évaluez

$2 x$ sur

$2$ et sur

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Élevez

$2$ à la puissance

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.2

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.3

Annulez le facteur commun à

$0$ et

$3$ .

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Étape 14.4.3.1

Factorisez

$3$ à partir de

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.4.3.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.3.2.4

Divisez

$0$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.4

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} + 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.5

Additionnez

$\frac{8}{3}$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.6

Associez

$3$ et

$\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.7

Multipliez

$3$ par

$8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{24}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.8

Annulez le facteur commun à

$24$ et

$3$ .

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Étape 14.4.8.1

Factorisez

$3$ à partir de

$24$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.4.8.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.8.2.4

Divisez

$8$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.9

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.10

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$2$ .

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Étape 14.4.10.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.4.10.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.10.2.4

Divisez

$2$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.11

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.12

Annulez le facteur commun à

$0$ et

$2$ .

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Étape 14.4.12.1

Factorisez

$2$ à partir de

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.4.12.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.12.2.4

Divisez

$0$ par

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.13

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 + 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.14

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.15

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.16

Soustrayez

$4$ de

$8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.17

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 - 2 \cdot 0)$

Étape 14.4.18

Multipliez

$- 2$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 + 0)$

Étape 14.4.19

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4)$

Étape 14.4.20

Additionnez

$4$ et

$4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8)$

Étape 15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 8$

Étape 15.2

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

Étape 16

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 16.1

Factorisez

$2$ à partir de

$8$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 4$

Étape 17

Saisissez VOTRE problème