Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x - 6$ , $(1, 2)$

Étape 1

Vérifiez si $f (x) = 6 x - 6$ est continu.

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Étape 1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 1.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = 6 x - 6$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 2.1.1.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f' (x) = 6$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6$ .

$6$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[1, 2]$ .

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Étape 2.2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[1, 2]$ car la dérivée est continue sur $[1, 2]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[1, 2]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[1, 2]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (x) = 6 x - 6$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$6$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$\sqrt{37} x]_{1}^{2}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\sqrt{37} x$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\sqrt{37} \cdot 2) - \sqrt{37} \cdot 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{37}$ .

$2 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot 1$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \sqrt{37} - \sqrt{37}$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $\sqrt{37}$ de $2 \sqrt{37}$ .

$\sqrt{37}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{37}$

Forme décimale :

$6.08276253 \dots$

Étape 8

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