Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = 6 x - 6

$f (x) = 6 x - 6$ ,

(0, 4)

$(0, 4)$

Étape 1

Vérifiez si

f (x) = 6 x - 6

$f (x) = 6 x - 6$ est continu.

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Étape 1.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

{x | x \in R}

${x | x \in ℝ}$

Étape 1.2

f (x)

$f (x)$ est continu sur

[0, 4]

$[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si

f (x) = 6 x - 6

$f (x) = 6 x - 6$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

6 x - 6

$6 x - 6$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez

\frac{d}{d x} [6 x]

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme

6

$6$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

6 x

$6 x$ par rapport à

x

$x$ est

6 \frac{d}{d x} [x]

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 1

$n = 1$ .

6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez

6

$6$ par

1

$1$ .

6 + \frac{d}{d x} [- 6]

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

6 + \frac{d}{d x} [- 6]

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.1.3.1

Comme

- 6

$- 6$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

- 6

$- 6$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

6 + 0

$6 + 0$

Étape 2.1.1.3.2

Additionnez

6

$6$ et

0

$0$ .

$f' (x) = 6$

Étape 2.1.2

La dérivée première de

$f (x)$ par rapport à

$x$ est

$6$ .

$6$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur

$[0, 4]$ .

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Étape 2.2.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2.2.2

$f' (x)$ est continu sur

$[0, 4]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur

$[0, 4]$ car la dérivée est continue sur

$[0, 4]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé

$[0, 4]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé

$[0, 4]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de

$f (x) = 6 x - 6$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de

$6 x - 6$ par rapport à

$x$ est

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.2

Évaluez

$\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 4.2.1

Comme

$6$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$6 x$ par rapport à

$x$ est

$6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.2.3

Multipliez

$6$ par

$1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme

$- 6$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 6$ par rapport à

$x$ est

$0$ .

$6 + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez

$6$ et

$0$ .

$6$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$\sqrt{37} x]_{0}^{4}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez

$\sqrt{37} x$ sur

$4$ et sur

$0$ .

$(\sqrt{37} \cdot 4) - \sqrt{37} \cdot 0$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Déplacez

$4$ à gauche de

$\sqrt{37}$ .

$4 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot 0$

Étape 6.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$4 \sqrt{37} + 0 \sqrt{37}$

Étape 6.2.2.3

Multipliez

$0$ par

$\sqrt{37}$ .

$4 \sqrt{37} + 0$

Étape 6.2.2.4

Additionnez

$4 \sqrt{37}$ et

$0$ .

$4 \sqrt{37}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$4 \sqrt{37}$

Forme décimale :

$24.33105012 \dots$

Étape 8

Saisissez VOTRE problème