Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x^{2} - 2$ , $y = 4 x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$6 x^{2} - 2 = 4 x$

Étape 1.2

Résolvez $6 x^{2} - 2 = 4 x$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 2 - 4 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2} - 2 - 4 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 (3 x^{2}) - 2 - 4 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 1) - 4 x = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x$ .

$2 (3 x^{2}) + 2 (- 1) + 2 (- 2 x) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$2 (3 x^{2} - 1) + 2 (- 2 x) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x^{2} - 1) + 2 (- 2 x)$ .

$2 (3 x^{2} - 1 - 2 x) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$2 (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$2 ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0 + y = 4 x$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (3 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1}{3}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{3}$ .

$y = 4 (- \frac{1}{3})$

Étape 1.3.2

Simplifiez $4 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $4 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = - 4 (\frac{1}{3})$

Étape 1.3.2.1.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4}{3}$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = 4 (1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = 4$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

$(1, 4)$

$(- \frac{1}{3}, - \frac{4}{3})$

$(1, 4)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 4 x d x - \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 6 x^{2} - 2 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \frac{1}{3}$ et $1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \frac{1}{3}}^{1} 4 x - (6 x^{2} - 2) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - (6 x^{2}) - - 2$

Étape 3.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$4 x - 6 x^{2} - - 2$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$4 x - 6 x^{2} + 2$

$\int_{- \frac{1}{3}}^{1} 4 x - 6 x^{2} + 2 d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{1}{3}}^{1} 4 x d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} - 6 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- \frac{1}{3}}^{1} x d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} - 6 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} - 6 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} - 6 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) - 6 \int_{- \frac{1}{3}}^{1} x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) + \int_{- \frac{1}{3}}^{1} 2 d x$

Étape 3.10

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) + 2 x]_{- \frac{1}{3}}^{1}$

Étape 3.11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.11.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- \frac{1}{3}$ .

$4 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{3}}^{1}) + 2 x]_{- \frac{1}{3}}^{1}$

Étape 3.11.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + 2 x]_{- \frac{1}{3}}^{1}$

Étape 3.11.3

Évaluez $2 x$ sur $1$ et sur $- \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4

Simplifiez

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Étape 3.11.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(- (\frac{1}{3}))}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.3

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{1}{3})$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{1 {(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.5

Multipliez ${(\frac{1}{3})}^{2}$ par $1$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} - \frac{{(- (\frac{1}{3}))}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.8

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{1}{3})$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} - \frac{- {(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} - - \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + 1 \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.12

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}$ par $1$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + (2 \cdot 1) - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + 2 - 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.14

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + 2 + 2 (\frac{1}{3})$

Étape 3.11.4.15

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + 2 + \frac{2}{3}$

Étape 3.11.4.16

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3.11.4.17

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 3.11.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Étape 3.11.4.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.4.19.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + \frac{6 + 2}{3}$

Étape 3.11.4.19.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) + \frac{8}{3}$

Étape 3.11.4.20

Pour écrire $4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})$

Étape 3.11.4.21

Associez $4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})$

Étape 3.11.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) \cdot 3 + 8}{3} - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})$

Étape 3.11.4.23

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) + 8}{3} - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})$

Étape 3.11.4.24

Pour écrire $- 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) + 8}{3} - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.11.4.25

Associez $- 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) + 8}{3} + \frac{- 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.4.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) + 8 - 6 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3}) \cdot 3}{3}$

Étape 3.11.4.27

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})}{3}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{\frac{1^{2}}{3^{2}}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})}{3}$

Étape 3.12.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{3^{2}}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})}{3}$

Étape 3.12.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{9}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{{(\frac{1}{3})}^{3}}{3})}{3}$

Étape 3.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{9}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1^{3}}{3^{3}}}{3})}{3}$

Étape 3.12.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{9}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{3^{3}}}{3})}{3}$

Étape 3.12.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{12 (\frac{1}{2} - \frac{\frac{1}{9}}{2}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 \frac{1 - \frac{1}{9}}{2} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{12 \frac{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}}{2} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 \frac{\frac{9 - 1}{9}}{2} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{12 \frac{\frac{8}{9}}{2} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.12.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 (6) \frac{\frac{8}{9}}{2} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 6 \frac{\frac{8}{9}}{2} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 (\frac{8}{9}) + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.6

Associez $6$ et $\frac{8}{9}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 8}{9} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.7

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{\frac{48}{9} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.8

Annulez le facteur commun à $48$ et $9$ .

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Étape 3.12.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $48$ .

$\frac{\frac{3 (16)}{9} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - 18 (\frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{27}}{3})}{3}$

Étape 3.12.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - 18 \frac{1 + \frac{1}{27}}{3}}{3}$

Étape 3.12.3.10

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - 18 \frac{\frac{27}{27} + \frac{1}{27}}{3}}{3}$

Étape 3.12.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - 18 \frac{\frac{27 + 1}{27}}{3}}{3}$

Étape 3.12.3.12

Additionnez $27$ et $1$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - 18 \frac{\frac{28}{27}}{3}}{3}$

Étape 3.12.3.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.12.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $- 18$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + 3 (- 6) \frac{\frac{28}{27}}{3}}{3}$

Étape 3.12.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + 3 \cdot - 6 \frac{\frac{28}{27}}{3}}{3}$

Étape 3.12.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - 6 (\frac{28}{27})}{3}$

Étape 3.12.3.14

Associez $- 6$ et $\frac{28}{27}$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + \frac{- 6 \cdot 28}{27}}{3}$

Étape 3.12.3.15

Multipliez $- 6$ par $28$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + \frac{- 168}{27}}{3}$

Étape 3.12.3.16

Annulez le facteur commun à $- 168$ et $27$ .

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Étape 3.12.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $- 168$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + \frac{3 (- 56)}{27}}{3}$

Étape 3.12.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + \frac{3 \cdot - 56}{3 \cdot 9}}{3}$

Étape 3.12.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + \frac{3 \cdot - 56}{3 \cdot 9}}{3}$

Étape 3.12.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 + \frac{- 56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{16}{3} + 8 - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.18

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.19

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{16 + 8 \cdot 3}{3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.3.21.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{\frac{16 + 24}{3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.21.2

Additionnez $16$ et $24$ .

$\frac{\frac{40}{3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.22

Pour écrire $\frac{40}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{40}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.12.3.23.1

Multipliez $\frac{40}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{40 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.23.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{40 \cdot 3}{9} - \frac{56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{40 \cdot 3 - 56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.3.25.1

Multipliez $40$ par $3$ .

$\frac{\frac{120 - 56}{9}}{3}$

Étape 3.12.3.25.2

Soustrayez $56$ de $120$ .

$\frac{\frac{64}{9}}{3}$

Étape 3.12.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.12.5

Multipliez $\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.12.5.1

Multipliez $\frac{64}{9}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{64}{9 \cdot 3}$

Étape 3.12.5.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{64}{27}$

Étape 4

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