Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} + x = x + 2$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} + x = x + 2$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - x = 2$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + x - x$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$x^{2} + 0 = 2$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} = 2$

Étape 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 1.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 1.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 1.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ .

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ dans $y = (\sqrt{2}) + 2$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{2} + 2$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Étape 1.3.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{2} + 2$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{2}$ .

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $- \sqrt{2}$ dans $y = (- \sqrt{2}) + 2$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Étape 1.4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Étape 3.3

Associez les termes opposés dans $x + 2 - x^{2} - x$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 - x^{2}$ et $0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Étape 3.5

Appliquez la règle de la constante.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Étape 3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Étape 3.8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.8.2.1

Évaluez $2 x$ sur $\sqrt{2}$ et sur $- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Étape 3.8.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $\sqrt{2}$ et sur $- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3

Simplifiez

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Étape 3.8.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.2

Additionnez $2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.6

Appliquez la règle de produit à $- (\sqrt{2})$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Étape 3.8.2.3.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Étape 3.8.2.3.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Étape 3.8.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Étape 3.8.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Étape 3.8.2.3.12

Multipliez $\frac{\sqrt{8}}{3}$ par $1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Étape 3.8.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Étape 3.8.2.3.14

Additionnez $\sqrt{8}$ et $\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Étape 3.8.3

Simplifiez

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Étape 3.8.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.8.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Étape 3.8.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 3.8.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.8.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.8.3.4

Pour écrire $4 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.8.3.5

Associez $4 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.8.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.8.3.7

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.8.3.8

Soustrayez $4 \sqrt{2}$ de $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Forme décimale :

$3.77123616 \dots$

Étape 5

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