Calcul infinitésimal Exemples

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

Étape 1

Écrivez

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ comme une fonction.

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ sur

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = {((1) + 3)}^{2}

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Additionnez

1

$1$ et

3

$3$ .

f (1) = 4^{2}

$f (1) = 4^{2}$

Étape 2.1.2.2

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

f (1) = 16

$f (1) = 16$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est

16

$16$ .

16

$16$

16

$16$

16

$16$

Étape 2.2

Comme

16 = 16

$16 = 16$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

m

$m$

=

$=$ La dérivée de

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur

x = x + h

$x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

x + h

$x + h$ dans l’expression.

f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Réécrivez

{(x + h + 3)}^{2}

${(x + h + 3)}^{2}$ comme

(x + h + 3) (x + h + 3)

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

Étape 5.1.2.2

Développez

(x + h + 3) (x + h + 3)

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.3.1

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.2

Déplacez

3

$3$ à gauche de

x

$x$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.3

Multipliez

h

$h$ par

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.4

Déplacez

3

$3$ à gauche de

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

Étape 5.1.2.3.5

Multipliez

3

$3$ par

3

$3$ .

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.4

Additionnez

x h

$x h$ et

h x

$h x$ .

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Étape 5.1.2.4.1

Remettez dans l’ordre

x

$x$ et

h

$h$ .

f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.4.2

Additionnez

h x

$h x$ et

h x

$h x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.5

Additionnez

3 x

$3 x$ et

3 x

$3 x$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

Étape 5.1.2.6

Additionnez

3 h

$3 h$ et

3 h

$3 h$ .

f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.1.2.7

La réponse finale est

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez

x^{2}

$x^{2}$ .

2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre

2 h x

$2 h x$ et

h^{2}

$h^{2}$ .

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

Étape 6

Insérez les composants.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Multipliez

6

$6$ par

- 1

$- 1$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

9

$9$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

Étape 7.1.3

Soustrayez

x^{2}

$x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

Étape 7.1.4

Additionnez

h^{2}

$h^{2}$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

Étape 7.1.5

Soustrayez

6 x

$6 x$ de

6 x

$6 x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

Étape 7.1.6

Additionnez

h^{2}

$h^{2}$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

Étape 7.1.7

Soustrayez

9

$9$ de

9

$9$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

Étape 7.1.8

Additionnez

h^{2} + 2 h x + 6 h

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ et

0

$0$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

Étape 7.1.9

Factorisez

h

$h$ à partir de

h^{2} + 2 h x + 6 h

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

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Étape 7.1.9.1

Factorisez

h

$h$ à partir de

h^{2}

$h^{2}$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

Étape 7.1.9.2

Factorisez

h

$h$ à partir de

2 h x

$2 h x$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

Étape 7.1.9.3

Factorisez

h

$h$ à partir de

6 h

$6 h$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

Étape 7.1.9.4

Factorisez

h

$h$ à partir de

h (h) + h (2 x)

$h (h) + h (2 x)$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

Étape 7.1.9.5

Factorisez

h

$h$ à partir de

h (h + 2 x) + h \cdot 6

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

f' (x) = lim h \to 0 \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de

h

$h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez

$h + 2 x + 6$ par

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre

$h$ et

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Étape 8.2

Évaluez la limite de

$2 x$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

Étape 8.3

Évaluez la limite de

$6$ qui est constante lorsque

$h$ approche de

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

Étape 9

Évaluez la limite de

$h$ en insérant

$0$ pour

$h$ .

$2 x + 0 + 6$

Étape 10

Additionnez

$2 x$ et

$0$ .

$2 x + 6$

Étape 11

Simplifiez

$2 (1) + 6$ .

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Étape 11.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$m = 2 + 6$

Étape 11.2

Additionnez

$2$ et

$6$ .

$m = 8$

Étape 12

La pente est

$m = 8$ et le point central est

$(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

Étape 13

Déterminez la valeur de

$b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 13.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer

$b$ .

$y = m x + b$

Étape 13.2

Remplacez la valeur de

$m$ dans l’équation.

$y = (8) \cdot x + b$

Étape 13.3

Remplacez la valeur de

$x$ dans l’équation.

$y = (8) \cdot (1) + b$

Étape 13.4

Remplacez la valeur de

$y$ dans l’équation.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

Étape 13.5

Déterminez la valeur de

$b$ .

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Étape 13.5.1

Réécrivez l’équation comme

$(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

Étape 13.5.2

Multipliez

$8$ par

$1$ .

$8 + b = 16$

Étape 13.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 13.5.3.1

Soustrayez

$8$ des deux côtés de l’équation.

$b = 16 - 8$

Étape 13.5.3.2

Soustrayez

$8$ de

$16$ .

$b = 8$

Étape 14

Maintenant que les valeurs de

$m$ (pente) et

$b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans

$y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 8 x + 8$

Étape 15

Saisissez VOTRE problème